Equació de la hipèrbola vertical

A continuació s'analitzen les hipèrboles verticals amb centre al punt genèric $C(x_0,y_0)$. L'eix focal és ara paral·lel a l'eix de les ordenades, i per tant els focus estan en els punts $F^{\prime }(x_0,y_0-c)$ i $F(x_0,y_0+c)$.

Aplicant ara la definició general obtenim $$\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0+c{)}^2}-\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}=2a$$

Se suma l'arrel i s'eleva al quadrat: $$\begin{array}{rcl}(\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0+c{)}^2}{)}^2& =& (2a+\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}{)}^2\\ (x-x_0{)}^2+(y-y_0+c{)}^2& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}+\\ & & +(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2\\ (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+2(y-y_0)c+c^2& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}+\\ & & +(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2-2(y-y_0{)}^2\\ & & -2(y-y_0)c+c^2\end{array}$$

Al simplificar i dividint entre quatre: $$\begin{array}{rcl}4(y-y_0)c& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}\\ (y-y_0)c& =& a^2+a\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}\end{array}$$

En aïllar l'arrel i elevar novament al quadrat: $$\begin{array}{rcl}(c(y-y_0)-a^2{)}^2& =& (a\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}{)}^2\\ c^2(y-y_0{)}^2-2a^{2}c(y-y_0)+a^4& =& a^2((x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2)\\ c^2(y-y_0{)}^2-2a^{2}c(y-y_0)+a^4& =& a^2((x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2-2c(y-y_0)+c^2)\\ c^2(y-y_0{)}^2-2a^{2}c(y-y_0)+a^4& =& a^2(x-x_0{)}^2+a^2(y-y_0{)}^2-2a^{2}c(y-y_0)+a^2{c}^2\\ c^2(y-y_0{)}^2-a^2(y-y_0{)}^2-a^2(x-x_0{)}^2& =& a^2{c}^2-a^4\\ (c^2-a^2)(y-y_0{)}^2-a^2(x-x_0{)}^2& =& a^2(c^2-a^2)\end{array}$$

Dividir llavors entre $a^2(c^2-a^2)$ per obtenir un $1$ a la dreta: $${\displaystyle \begin{array}{rcl}\frac{(c^2-a^2)(y-y_0{)}^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2(x-x_0{)}^2}{a^2(c^2-a^2)}& =& 1\\ \frac{(y-y_0{)}^2}{a^2}-\frac{(x-x_0{)}^2}{(c^2-a^2)}=1\end{array}}$$

En aplicar la definició $c^2=a^2+b^2=$, $b^2=c^2-a^2$ es substitueix i s'arriba a l'equació desitjada per a la hipèrbola vertical: $${\displaystyle \frac{(y-y_0{)}^2}{a^2}-\frac{(x-x_0{)}^2}{b^2}=1}$$

A continuació es veurà un exemple pràctic en el qual s'observarà de forma més senzilla els passos realitzats per arribar a l'equació per a la hipèrbola vertical.

En desenvolupar l'equació tant de la hipèrbola vertical com de l'horitzontal, en general, es pot expressar l'equació de la forma $A{x}^2+B{y}^2+Cx+Dy+E=0$ on $A$ i $B$ no poden tenir el mateix signe.