Es diu equilàtera a la hipèrbola on $$a=b$$. D'aquí que l'excentricitat ha de valer $$e=\sqrt{2}$$.
Multiplicant per $$a^2$$ en l'expressió $$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$, s'arriba a l'equació $$x^2-y^2= a^2$$. En aquest cas les asímptotes serien $$y=x$$, $$y =-x$$.
Es pot observar que les asímptotes són ortonormals. Seria llavors interessant que poguessin coincidir amb els nostres eixos ortonormals. Per arribar a això només cal un gir de $$45^\circ$$. L'equació resultant $$x \cdot y=\frac{a^2}{2}$$ es pot expressar de la forma $$\displaystyle y=\frac{k}{x}$$ donant lloc a la figura següent:
Una altra expressió, en la qual la hipèrbola ja no estarà en el primer quadrant és $$\displaystyle y=-\frac{k}{x}$$, donant lloc a:
Donada la hipèrbola $$y=-\frac{8}{x}$$, trobar la seva excentricitat i la seva distància focal.
L'excentricitat és, per definició d'una hipèrbola equilàtera $$e=\sqrt{2}$$.
Identificar $$\displaystyle k=8=\frac{a^2}{2}$$, llavors $$a= \sqrt{16}=4$$.
Com que $$a=b$$, amb $$c^2=a^2+b^2$$ es troba $$c= \sqrt{2 \cdot a^2}=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$.