Equació reduïda de la hipèrbola vertical

Tractarem ara les hipèrboles reduïdes verticals. En aquest cas, és l'eix d'ordenades el que correspon amb l'eix focal.

El lloc geomètric dels focus és llavors $F^{\prime }(0,-c)$ i $F(0,c)$. Aplicant ara la definició general obtenim $${\displaystyle \sqrt{x^2+(y+c{)}^2}-\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}=2a}$$

Passem a l'altre membre l'arrel que està restant, i elevem al quadrat: $${\displaystyle \begin{array}{rcl}(\sqrt{x^2+(y+c{)}^2}{)}^2& =& (2a+\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}{)}^2\\ x^2+(y+c{)}^2& =& 4a^2+4a\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}+x^2+(y-c{)}^2\\ x^2+y^2+2yc+c^2& =& 4a^2+4a\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}+x^2+y^2-2yc+c^2\end{array}}$$

Al simplificar i dividint per quatre: $${\displaystyle \begin{array}{rcl}4yc& =& 4a^2+4a\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}\\ yc& =& a^2+a\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}\end{array}}$$

En aïllar l'arrel i elevar novament al quadrat: $$\begin{array}{rcl}(cy-a^2{)}^2& =& (a+\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}{)}^2\\ c^2{y}^2-2a^{2}cy+a^4& =& a^2(x^2+(y-c{)}^2)\\ c^2{y}^2-2a^{2}cy+a^4& =& a^2(x^2+y^2-2cy+c^2)\\ c^2{y}^2-a^2{y}^2-a^2{x}^2& =& a^2{c}^2-a^4\\ (c^2-a^2)y^2-a^2{x}^2& =& a^2(c^2-a^2)\end{array}$$

Dividir llavors entre $a^2(c^2-a^2)$ per obtenir un $1$ a la dreta: $${\displaystyle \begin{array}{rcl}\frac{(c^2-a^2)y^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2{x}^2}{a^2(c^2-a^2)}& =& 1\\ \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{(c^2-a^2)}& =& 1\end{array}}$$

En aplicar la definició $c^2=a^2+b^2$, $b^2=c^2-a^2$ es substitueix i s'arriba a l'equació desitjada per a la hipèrbola reduïda vertical: $${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1}$$