Ecuación reducida de la hipérbola vertical

Trataremos ahora las hipérbolas reducidas verticales. En este caso, es el eje de ordenadas el que corresponde con el eje focal. El lugar geométrico de los focos es entonces $F^{\prime }(0,-c)$ y $F(0,c)$. Aplicando ahora la definición general obtenemos $${\displaystyle \sqrt{x^2+(y+c{)}^2}-\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}=2a}$$

Pasamos al otro miembro la raíz que está restando, y elevamos al cuadrado: $${\displaystyle \begin{array}{rcl}(\sqrt{x^2+(y+c{)}^2}{)}^2& =& (2a+\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}{)}^2\\ x^2+(y+c{)}^2& =& 4a^2+4a\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}+x^2+(y-c{)}^2\\ x^2+y^2+2yc+c^2& =& 4a^2+4a\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}+x^2+y^2-2yc+c^2\end{array}}$$

Al simplificar y dividiendo por cuatro: $${\displaystyle \begin{array}{rcl}4yc& =& 4a^2+4a\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}\\ yc& =& a^2+a\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}\end{array}}$$

Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado: $$\begin{array}{rcl}(cy-a^2{)}^2& =& (a+\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}{)}^2\\ c^2{y}^2-2a^{2}cy+a^4& =& a^2(x^2+(y-c{)}^2)\\ c^2{y}^2-2a^{2}cy+a^4& =& a^2(x^2+y^2-2cy+c^2)\\ c^2{y}^2-a^2{y}^2-a^2{x}^2& =& a^2{c}^2-a^4\\ (c^2-a^2)y^2-a^2{x}^2& =& a^2(c^2-a^2)\end{array}$$

Dividir entonces entre $a^2(c^2-a^2)$ para obtener un $1$ a la derecha: $${\displaystyle \begin{array}{rcl}\frac{(c^2-a^2)y^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2{x}^2}{a^2(c^2-a^2)}& =& 1\\ \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{(c^2-a^2)}& =& 1\end{array}}$$

Al aplicar la definición $c^2=a^2+b^2$, $b^2=c^2-a^2$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada para la hipérbola reducida vertical: $${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1}$$