Hipérbola equilátera

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Se llama equilátera a esa hipérbola en la cual $a = b$ . De ahí la excentricidad tiene que valer $e = \sqrt{2}$ .

Multiplicando por $a^{2}$ en la expresión $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , se llega a la ecuación $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ . En este caso las asíntotas serían $y = x$ , $y = - x$ .

Se puede observar que las asíntotas son ortonormales. Sería entonces interesante que pudiesen coincidir con nuestros ejes ortonormales. Para llegar a ello sólo hace falta un giro de $45^{\circ}$ . La ecuación resultante $x \cdot y = \frac{a^{2}}{2}$ se puede expresar de la forma $y = \frac{k}{x}$ dando lugar a la figura siguiente:

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Otra expresión, en la que la hipérbola ya no estará en el primer cuadrante es $y = - \frac{k}{x}$ , dando lugar a:

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Ejemplo

Dada la hipérbola $y = - \frac{8}{x}$ , hallar su excentricidad y su distancia focal.

La excentricidad es, por definición de una hipérbola equilátera $e = \sqrt{2}$ .

Identificar $k = 8 = \frac{a^{2}}{2}$ , entonces $a = \sqrt{16} = 4$ .

Como $a = b$ , con $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ se encuentra $c = \sqrt{2 \cdot a^{2}} = a \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ .