Estudio de la hipérbola

Una hipérbola es la curva formada por el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, los focos, es constante: $\overline{PF}-\overline{P{F}^{\prime }}=2a$

• Focos: Son los dos puntos fijos $F$ y $F^{\prime }$.
• Eje focal: Es el eje creado por la recta $F{F}^{\prime }$ y cuya longitud es la distancia focal.
• Distancia focal o real: Distancia del segmento $\overline{F{F}^{\prime }}=2c$.
• Eje secundario o imaginario: Eje formado por el conjunto de puntos equidistantes de $F$ y $F^{\prime }$. Es por lo tanto la mediatriz del segmento $\overline{F{F}^{\prime }}$.
• Centro: Es el punto medio del segmento $\overline{F{F}^{\prime }}$. También es el punto donde se cruzan el eje focal y el eje secundario.
• Ejes de simetría: Tanto el eje focal como el eje secundario son ejes de simetría.
• Vértices: Los vértices $A$ y $A^{\prime }$ son los puntos de intersección del eje focal con la hipérbola.
• Los vértices $B$ y $B^{\prime }$ se obtienen de las intersecciones del eje secundario con el círculo de centro $A$ y de radio $c$.
• Por simetría también se hallan con el círculo de centro $A^{\prime }$ y del mismo radio.
• Eje mayor: Es el eje creado por el segmento $\overline{A{A}^{\prime }}$ y de longitud $2a$.
• Eje menor: Es el eje creado por el segmento $\overline{B{B}^{\prime }}$ y de longitud $2b$.
• Relación entre semiejes: $c^2=a^2+b^2$.
• Radios vectores: Son los segmentos $PF$ y $P{F}^{\prime }$, que unen los focos con un punto de la hipérbola.
• Asíntotas: Una hipérbola tiene dos asíntotas de ecuaciones respectivas ${\displaystyle y=\frac{b}{a}x}$ y ${\displaystyle y=-\frac{b}{a}x}$.

Excentricidad

La excentricidad nos da informacion sobre la abertura de las ramas de la hipérbola. $${\displaystyle e=\frac{c}{a}}$$ Como $c\ge a$, dividiendo a ambos lados por $a$: ${\displaystyle \frac{c}{a}\ge 1}$.

Se identifica entonces la excentricidad $e\ge 1$.

En el caso límite $e=1$ las ramas son horizontales. A medida que la excentricidad aumenta cada vez son más verticales las ramas de la hipérbola como se ve con ${\displaystyle e=\frac{5}{4},e=\sqrt{2}}$ (hipérbola equilátera) y ${\displaystyle e=\frac{5}{3}}$.