Estudi de la hipèrbola

Una hipèrbola és la corba formada pel conjunt de punts del pla la diferència de distàncies a dos punts fixos, els focus, és constant: $\overline{PF}-\overline{P{F}^{\prime }}=2a$

• Focus: Són els dos punts fixos $F$ i $F^{\prime }$.
• Eix focal: És l'eix creat per la recta $F{F}^{\prime }$ i la longitud és la distància focal.
• Distància focal o real: Distància del segment $\overline{F{F}^{\prime }}=2c$.
• Eix secundari o imaginari: Eix format pel conjunt de punts equidistants de $F$ i $F^{\prime }$. És per tant la mediatriu del segment $\overline{F{F}^{\prime }}$.
• Centre: És el punt mig del segment $\overline{F{F}^{\prime }}$. També és el punt on es creuen l'eix focal i l'eix secundari.
• Eixos de simetria: Tant l'eix focal com l'eix secundari són eixos de simetria.
• Vèrtexs: Els vèrtexs $A$ i $A^{\prime }$ són els punts d'intersecció de l'eix focal amb la hipèrbola.
• Els vèrtexs $B$ i $B^{\prime }$ s'obtenen de les interseccions de l'eix secundari amb el cercle de centre $A$ i de radi $c$.
• Per simetria també es troben amb el cercle de centre $A^{\prime }$ i del mateix radi.
• Eix major: És l'eix creat pel segment $\overline{A{A}^{\prime }}$ i de longitud $2a$.
• Eix menor: És l'eix creat pel segment $\overline{B{B}^{\prime }}$ i de longitud $2b$.
• Relació entre semieixos: $c^2=a^2+b^2$.
• Radis vectors: Són els segments $PF$ i $P{F}^{\prime }$, que uneixen els focus amb un punt de la hipèrbola.
• Asímptotes: Una hipèrbola té dues asímptotes d'equacions respectives ${\displaystyle y=\frac{b}{a}x}$ i ${\displaystyle y=-\frac{b}{a}x}$.

Excentricitat

L'excentricitat ens dóna informació sobre l'obertura de les branques de la hipèrbola. $${\displaystyle e=\frac{c}{a}}$$ Com $c\ge a$, dividint a banda i banda per $a$: ${\displaystyle \frac{c}{a}\ge 1}$.

S'identifica llavors l'excentricitat $e\ge 1$.

En el cas límit $e=1$ les branques són horitzontals. A mesura que l'excentricitat augmenta cada vegada són més verticals les branques de la hipèrbola com es veu amb ${\displaystyle e=\frac{5}{4},e=\sqrt{2}}$ (Hipèrbola equilàtera) i ${\displaystyle e=\frac{5}{3}}$.