Equació de la hipèrbola horitzontal

En aquest apartat es tractaran les hipèrboles horitzontals amb el centre en un punt genèric $C(x_0,y_0)$.

L'eix focal és paral·lel a l'eix d'abscisses, i per tant els focus estan en les coordenades $F^{\prime }(x_0-c,y_0)$ i $F(x_0+c,y_0)$.

Aplicant aquests focus en la definició general de la hipèrbola $\overline{PF}-\overline{P{F}^{\prime }}=2a$ s'obté l'expressió $$\sqrt{(x-x_0+c{)}^2+(y-y_0{)}^2}-\sqrt{(x-x_0-c{)}^2+(y-y_0{)}^2}=2a$$

Al sumar l'arrel, i elevant al quadrat: $$\begin{array}{rcl}(\sqrt{(x-x_0+c{)}^2+(y-y_0{)}^2}{)}^2& =& (2a+\sqrt{(x-x_0-c{)}^2+(y-y_0{)}^2}{)}^2\\ (x-x_0+c{)}^2+(y-y_0{)}^2& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-x_0-c{)}^2+(y-y_0{)}^2}+\\ & & +(x-x_0-c{)}^2+(y-y_0{)}^2\\ (x-x_0{)}^2+2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0{)}^2& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-x_0-c{)}^2+(y-y_0{)}^2}+\\ & & +(x-x_0{)}^2-2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0{)}^2\end{array}$$

Simplificant i dividint per quatre: $$\begin{array}{rcl}4(x-x_0)c& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-x_0-c{)}^2+(y-y_0{)}^2}\\ (x-x_0)c& =& a^2+a\sqrt{(x-x_0-c{)}^2+(y-y_0{)}^2}\end{array}$$

En aïllar l'arrel i elevar novament al quadrat: $$\begin{array}{rcl}(c(x-x_0)-a^2{)}^2& =& (a\sqrt{(x-x_0-c{)}^2+(y-y_0{)}^2}{)}^2\\ c^2(x-x_0{)}^2-2a^{2}c(x-x_0)+a^4& =& a^2((x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2\\ c^2(x-x_0{)}^2-2a^{2}c(x-x_0)+a^4& =& a^2((x-x_0{)}^2-2c(x-x_0)+x^2+(y-y_0{)}^2)\\ c^2(x-x_0{)}^2-2a^{2}c(x-x_0)+a^4& =& a^2(x-x_0{)}^2-2ac(x-x_0)+a^2{c}^2+a^2(y-y_0{)}^2\\ c^2(x-x_0{)}^2-a^2(x-x_0{)}^2-a^2(y-y_0{)}^2& =& a^2{c}^2-a^4\\ (c^2-a^2)(x-x_0{)}^2-a^2(y-y_0{)}^2& =& a^2(c^2-a^2)\end{array}$$

Es divideix llavors per $a^2(c^2-a^2)$ per obtenir un $1$ a la dreta: $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{(c^2-a^2)(x-x_0{)}^2}{a^2(c^2-a^2)}}-{\displaystyle \frac{a^2(y-y_0{)}^2}{a^2(c^2-a^2)}}& =& 1\\ {\displaystyle \frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{(y-y_0{)}^2}{(c^2-a^2)}}& =& 1\end{array}$$

Aplicant la definició $c^2=a^2+b^2$, $b^2=c^2-a^2$ es substitueix i s'arriba a l'equació desitjada: $${\displaystyle \frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=1}$$