Ejercicios de Ecuación explícita de la recta

Desarrollo:

Podemos empezar por la ecuación implícita que será:

$3x+2y-6=0$ Ecuación general, implícita o cartesiana

Aislando $y$ tenemos:

$y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+3$ Ecuación explícita

Ahora, como tenemos el pendiente, $m=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, un vector director de la recta puede ser $\overrightarrow{v_1}=(1,-3/2)$.

Multiplicando por $-2$, o bien de la ecuación general de la recta, tenemos que $\overrightarrow{v_2}=(-2,3)$ es otro vector director de la recta (y siempre es más cómodo trabajar con números enteros).

Ahora un punto de la recta pude ser $x=2$, y sustituyendo $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 2+3=0$ y por tanto $(2,0)$ es un punto de la recta.

Así la ecuación vectorial es:

$(x,y)=(2,0)+k\cdot (-2,3)$ Ecuación vectorial

y ahora podemos obtener fácilmente las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua:

$\begin{array}{c}x=2-2k\\ y=3k\end{array}$ Ecuaciones paramétricas

y aislando $k$ e igualando tenemos:

${\displaystyle \frac{x-2}{-2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}$ Ecuación continua

Por último, como ya hemos encontrado un punto de la recta y el pendiente, la ecuación punto pendiente, para dicho punto coincide con la ecuación explícita. Otra posibilidad sería coger el punto $x=0$, $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 0+3=3$ y entonces la ecuación punto-pendiente de la recta sería:

$y-3=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x$ Ecuación punto-pendiente

Solución:

$(x,y)=(2,0)+k\cdot (-2,3)$ Ecuación vectorial

$\begin{array}{c}x=2-2k\\ y=3k\end{array}$ Ecuaciones paramétricas

${\displaystyle \frac{x-2}{-2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}$ Ecuación continua

$3x+2y-6=0$ Ecuación general, implícita o cartesiana

$y-3=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x$ Ecuación punto-pendiente

$y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+3$ Ecuación explícita

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