Dada la recta $$3x+2y=6$$ encontrad todas las ecuaciones estudiadas.
Desarrollo:
Podemos empezar por la ecuación implícita que será:
$$3x+2y-6=0$$ Ecuación general, implícita o cartesiana
Aislando $$y$$ tenemos:
$$y=-\dfrac{3}{2}x+3$$ Ecuación explícita
Ahora, como tenemos el pendiente, $$m=-\dfrac{3}{2}$$, un vector director de la recta puede ser $$\overrightarrow{v_1}=(1,-3/2)$$.
Multiplicando por $$-2$$, o bien de la ecuación general de la recta, tenemos que $$\overrightarrow{v_2}=(-2, 3)$$ es otro vector director de la recta (y siempre es más cómodo trabajar con números enteros).
Ahora un punto de la recta pude ser $$x=2$$, y sustituyendo $$y=-\dfrac{3}{2}\cdot2+3=0$$ y por tanto $$(2,0)$$ es un punto de la recta.
Así la ecuación vectorial es:
$$(x,y)=(2,0)+k\cdot(-2,3)$$ Ecuación vectorial
y ahora podemos obtener fácilmente las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua:
$$\begin{array}{c} x=2-2k \\ y=3k \end{array}$$ Ecuaciones paramétricas
y aislando $$k$$ e igualando tenemos:
$$\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y}{3}$$ Ecuación continua
Por último, como ya hemos encontrado un punto de la recta y el pendiente, la ecuación punto pendiente, para dicho punto coincide con la ecuación explícita. Otra posibilidad sería coger el punto $$x=0$$, $$y=-\dfrac{3}{2}\cdot0+3=3$$ y entonces la ecuación punto-pendiente de la recta sería:
$$y-3=-\dfrac{3}{2}x$$ Ecuación punto-pendiente
Solución:
$$(x,y)=(2,0)+k\cdot(-2,3)$$ Ecuación vectorial
$$\begin{array}{c} x=2-2k \\ y=3k \end{array}$$ Ecuaciones paramétricas
$$\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y}{3}$$ Ecuación continua
$$3x+2y-6=0$$ Ecuación general, implícita o cartesiana
$$y-3=-\dfrac{3}{2}x$$ Ecuación punto-pendiente
$$y=-\dfrac{3}{2}x+3$$ Ecuación explícita