Ecuación vectorial del plano

Para determinar un plano en el espacio se necesitan un punto y dos direcciones distintas. Estas direcciones vienen dadas por dos vectores linealmente independientes que se llaman vectores directores del plano.

Es importante resaltar que es equivalente tener un punto y dos vectores linealmente independientes que tener tres puntos no alineados. Veámoslo:

Si tenemos tres puntos $A, B,$ y $C$ , podemos obtener 1 punto y dos vectores haciendo: $\begin{array}{rcl} P & = & A \\ \vec{v} & = & \vec{A B} \\ \vec{w} & = & \vec{A C} \end{array}$

Evidentemente, si tenemos 1 punto $P$ y dos vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$ podemos obtener tres puntos haciendo: $\begin{array}{rcl} A & = & P \\ B & = & P + \vec{v} \\ C & = & P + \vec{w} \end{array}$ Consideremos ahora en el sistema de referencia ${O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}}$ el plano $π$ que pasa por el punto $P$ y que tiene por vectores directores $\vec{v}$ y $\vec{w}$ . Lo simbolizaremos por $π (A, \vec{v}, \vec{w})$ .

Como en el caso de la recta, podemos expresar cualquier punto del plano aplicando una combinación lineal de dos vectores directores del plano a un punto del mismo.

Así tenemos que la ecuación vectorial es: $P = A + λ \vec{v} + μ \vec{w}$ que expresada en coordenadas es: $(x, y, z) = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) + λ \cdot (v_{1}, v_{2}, v_{3}) + μ \cdot (w_{1}, w_{2}, w_{3})$

Ejemplo

Dados los puntos $A = (1, - 3, 5), B = (1, 2, - 1)$ y $C = (- 2, - 1, 0)$ encontrad la ecuación vectorial del plano que determinan.

Buscamos vectores directores del plano haciendo: $\begin{array}{rcl} \vec{v} & = & \vec{A B} = B - A = (1, 2, - 1) - (1, - 3, 5) = (0, 5, - 6) \\ \vec{w} & = & \vec{A C} = C - A = (- 2, - 1, 0) - (1, - 3, 5) = (- 3, 2, - 5) \end{array}$ y así tenemos que la ecuación vectorial es: $(x, y, z) = (1, - 3, 5) + λ \cdot (0, 5, - 6) + μ \cdot (- 3, 2, - 5)$