Ecuación vectorial del plano

Para determinar un plano en el espacio se necesitan un punto y dos direcciones distintas. Estas direcciones vienen dadas por dos vectores linealmente independientes que se llaman vectores directores del plano.

Es importante resaltar que es equivalente tener un punto y dos vectores linealmente independientes que tener tres puntos no alineados. Veámoslo:

Si tenemos tres puntos $$A, B,$$ y $$C$$, podemos obtener 1 punto y dos vectores haciendo: $$$\begin {array}{rcl}P&=&A \\ \overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{w}&=&\overrightarrow{AC}\end{array}$$$

Evidentemente, si tenemos 1 punto $$P$$ y dos vectores $$\overrightarrow{v}$$ y $$\overrightarrow{w}$$ podemos obtener tres puntos haciendo: $$$\begin{array}{rcl} A&=&P \\ B&=& P + \overrightarrow{v} \\ C&=& P+\overrightarrow{w}\end{array}$$$ Consideremos ahora en el sistema de referencia $$\{O; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\}$$ el plano $$\pi$$ que pasa por el punto $$P$$ y que tiene por vectores directores $$\overrightarrow{v}$$ y $$\overrightarrow{w}$$. Lo simbolizaremos por $$\pi(A,\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$$.

Como en el caso de la recta, podemos expresar cualquier punto del plano aplicando una combinación lineal de dos vectores directores del plano a un punto del mismo.

Así tenemos que la ecuación vectorial es: $$$P = A +\lambda \overrightarrow{v} +\mu \overrightarrow{w}$$$ que expresada en coordenadas es: $$$(x,y,z)=(a_1,a_2,a_3) +\lambda \cdot (v_1,v_2,v_3)+\mu \cdot (w_1,w_2,w_3)$$$