Equació vectorial del pla

Per determinar un pla en l'espai es necessiten un punt i dues direccions diferents. Aquestes direccions vénen donades per dos vectors linealment independents que s'anomenen vectors directors del pla.

És important ressaltar que és equivalent tenir un punt i dos vectors linealment independents de tenir tres punts no alineats. Vegem-ho:

Si tenim tres punts $A, B,$ i $C$ , podem obtenir 1 punt i dos vectors fent: $\begin{array}{rcl} P & = & A \\ \vec{v} & = & \vec{A B} \\ \vec{w} & = & \vec{A C} \end{array}$

Evidentment, si tenim 1 punt $P$ i dos vectors $\vec{v}$ i $\vec{w}$ podem obtenir tres punts fent: $\begin{array}{rcl} A & = & P \\ B & = & P + \vec{v} \\ C & = & P + \vec{w} \end{array}$ Considerem ara en el sistema de referència ${O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}}$ el pla $π$ que passa pel punt $P$ i que té com a vectors directors $\vec{v}$ i $\vec{w}$ . Ho simbolitzarem com $π (A, \vec{v}, \vec{w})$ .

Com en el cas de la recta, podem expressar qualsevol punt del pla aplicant una combinació lineal de dos vectors directors del pla a un punt del mateix.

Així tenim que l'equació vectorial és: $P = A + λ \vec{v} + μ \vec{w}$ que expressada en coordenades és: $(x, y, z) = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) + λ \cdot (v_{1}, v_{2}, v_{3}) + μ \cdot (w_{1}, w_{2}, w_{3})$

Exemple

Donats els punts $A = (1, - 3, 5), B = (1, 2, - 1)$ i $C = (- 2, - 1, 0)$ trobeu l'equació vectorial del pla que determinen.

Busquem vectors directors del pla fent: $\begin{array}{rcl} \vec{v} & = & \vec{A B} = B - A = (1, 2, - 1) - (1, - 3, 5) = (0, 5, - 6) \\ \vec{w} & = & \vec{A C} = C - A = (- 2, - 1, 0) - (1, - 3, 5) = (- 3, 2, - 5) \end{array}$ i així tenim que l'equació vectorial és: $(x, y, z) = (1, - 3, 5) + λ \cdot (0, 5, - 6) + μ \cdot (- 3, 2, - 5)$