Equació vectorial del pla

Per determinar un pla en l'espai es necessiten un punt i dues direccions diferents. Aquestes direccions vénen donades per dos vectors linealment independents que s'anomenen vectors directors del pla.

És important ressaltar que és equivalent tenir un punt i dos vectors linealment independents de tenir tres punts no alineats. Vegem-ho:

Si tenim tres punts $$A, B,$$ i $$C$$, podem obtenir 1 punt i dos vectors fent: $$$\begin {array}{rcl}P&=&A \\ \overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{w}&=&\overrightarrow{AC}\end{array}$$$

Evidentment, si tenim 1 punt $$P$$ i dos vectors $$\overrightarrow{v}$$ i $$\overrightarrow{w}$$ podem obtenir tres punts fent: $$$\begin{array}{rcl} A&=&P \\ B&=& P + \overrightarrow{v} \\ C&=& P+\overrightarrow{w}\end{array}$$$ Considerem ara en el sistema de referència $$\{O; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\}$$ el pla $$\pi$$ que passa pel punt $$P$$ i que té com a vectors directors $$\overrightarrow{v}$$ i $$\overrightarrow{w}$$. Ho simbolitzarem com $$\pi(A,\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$$.

Com en el cas de la recta, podem expressar qualsevol punt del pla aplicant una combinació lineal de dos vectors directors del pla a un punt del mateix.

Així tenim que l'equació vectorial és: $$$P = A +\lambda \overrightarrow{v} +\mu \overrightarrow{w}$$$ que expressada en coordenades és: $$$(x,y,z)=(a_1,a_2,a_3) +\lambda \cdot (v_1,v_2,v_3)+\mu \cdot (w_1,w_2,w_3)$$$