Equació general del pla

Per a cada punt del pla $π$ , podem considerar les tres equacions paramètriques com un sistema d'equacions amb dues incògnites, $λ$ i $μ$ , que ha de tenir solució única. Per tant el sistema: $\begin{array}{rcl} x - a_{1} & = & λ \cdot u_{1} + μ \cdot v_{1} \\ y - a_{2} & = & λ \cdot u_{2} + μ \cdot v_{2} \\ z - a_{3} & = & λ \cdot u_{3} + μ \cdot v_{3} \end{array}}$

ha de ser compatible determinat i per tant el següent determinant ha de valdre $0$ : $| \begin{matrix} x - a_{1} & u_{1} & v_{1} \\ y - a_{2} & u_{2} & v_{2} \\ z - a_{3} & u_{3} & v_{3} \end{matrix} | = 0$ Si desenvolupem el determinant anterior obtenim: $(u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) \cdot x + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) \cdot y + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) \cdot z + + [- a_{1} (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) - a_{2} (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) - a_{3} (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})] = 0$ I si anomenem $A, B$ i $C$ als coeficients de $x, y, z$ , i $D$ al terme independent, obtenim l'equació lineal: $A x + B y + C z + D = 0$ que es coneix com equació general, cartesiana o implícita del pla.

A més el vector $\vec{v} = (A, B, C)$ és un vector perpendicular al pla.

Exemple

Donats els punts $A = (1, - 3, 5), B = (- 2, 2, - 1)$ i $C = (1, - 1, 0)$ , trobeu les equacions paramètriques del pla que el determinen.

L'equació vectorial és: $(x, y, z) = (1, - 3, 5) + λ \cdot (- 3, 5, - 6) + μ \cdot (0, 2, - 5)$ i les equacions paramètriques són: ${\begin{array}{rcl} x & = & 1 - 3 λ \\ y & = & - 3 + 5 λ + 2 μ \\ z & = & 5 - 6 λ - 5 μ \end{array}$

Si escrivim el determinant del sistema i igualem a zero tenim: $| \begin{matrix} x - 1 & - 3 & 0 \\ y + 3 & 5 & 2 \\ z - 5 & - 6 & - 5 \end{matrix} | = 0$ I si el desenvolupem: $| \begin{matrix} x - 1 & - 3 & 0 \\ y + 3 & 5 & 2 \\ z - 5 & - 6 & - 5 \end{matrix} | = - 25 (x - 1) - 6 (z - 5) - 15 (y + 3) + 12 (x - 1) = = - 25 x + 25 - 6 z + 30 - 15 y - 45 + 12 x - 12 = - 13 x - 15 y - 6 z - 2 = 0$ Una característica important de l'equació general del pla és que ens permet obtenir un vector normal amb només mirar l'equació.

Si l'equació és $A x + B y + C z + D = 0$ llavors $\vec{n} = (A, B, C)$ és un vector normal al pla. En el nostre cas $\vec{n} = (- 13, - 15, - 6)$ .