Ecuación general del plano

Para cada punto del plano $π$ , podemos considerar las tres ecuaciones paramétricas como un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, $λ$ y $μ$ , que debe tener solución única. Por tanto el sistema: $\begin{array}{rcl} x - a_{1} & = & λ \cdot u_{1} + μ \cdot v_{1} \\ y - a_{2} & = & λ \cdot u_{2} + μ \cdot v_{2} \\ z - a_{3} & = & λ \cdot u_{3} + μ \cdot v_{3} \end{array}}$

tiene que ser compatible determinado y por tanto el siguiente determinante debe valer $0$ : $| \begin{matrix} x - a_{1} & u_{1} & v_{1} \\ y - a_{2} & u_{2} & v_{2} \\ z - a_{3} & u_{3} & v_{3} \end{matrix} | = 0$ Si desarrollamos el determinante anterior obtenemos: $(u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) \cdot x + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) \cdot y + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) \cdot z + + [- a_{1} (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) - a_{2} (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) - a_{3} (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})] = 0$ Y si llamamos $A, B$ y $C$ a los coeficientes de $x, y, z$ , y $D$ al término independiente, obtenemos la ecuación lineal: $A x + B y + C z + D = 0$ que se conoce como ecuación general, cartesiana o implícita del plano.

Además el vector $\vec{v} = (A, B, C)$ es un vector perpendicular al plano.

Ejemplo

Dados los puntos $A = (1, - 3, 5), B = (- 2, 2, - 1)$ y $C = (1, - 1, 0)$ , encontrad las ecuaciones paramétricas del plano que determinan.

La ecuación vectorial es: $(x, y, z) = (1, - 3, 5) + λ \cdot (- 3, 5, - 6) + μ \cdot (0, 2, - 5)$ y las ecuaciones paramétricas son: ${\begin{array}{rcl} x & = & 1 - 3 λ \\ y & = & - 3 + 5 λ + 2 μ \\ z & = & 5 - 6 λ - 5 μ \end{array}$

Si escribimos el determinante del sistema e igualamos a cero tenemos: $| \begin{matrix} x - 1 & - 3 & 0 \\ y + 3 & 5 & 2 \\ z - 5 & - 6 & - 5 \end{matrix} | = 0$ Y si lo desarrollamos: $| \begin{matrix} x - 1 & - 3 & 0 \\ y + 3 & 5 & 2 \\ z - 5 & - 6 & - 5 \end{matrix} | = - 25 (x - 1) - 6 (z - 5) - 15 (y + 3) + 12 (x - 1) = = - 25 x + 25 - 6 z + 30 - 15 y - 45 + 12 x - 12 = - 13 x - 15 y - 6 z - 2 = 0$ Una característica importante de la ecuación general del plano es que nos permite obtener un vector normal con sólo mirar la ecuación.

Si la ecuación es $A x + B y + C z + D = 0$ entonces $\vec{n} = (A, B, C)$ es un vector normal del plano. En nuestro caso $\vec{n} = (- 13, - 15, - 6)$ .