Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas, indicando el número de soluciones obtenidas:
1) $$x^4-2x^2=0$$
2) $$x^4+x^2-12=0$$
3) $$x^4-25=0$$
4) $$x^4-3x^2+2=0$$
Desarrollo:
1) Como no tenemos término independiente podemos sacar factor común:
$$$x^4-2x^2=0 \Rightarrow x^2\cdot(x^2-2)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=0 \Rightarrow x=0 \\ x^2-2=0 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$$
Tenemos tres soluciones $$0$$, $$\sqrt{2}$$, $$-\sqrt{2}$$.
2) Hacemos el cambio de variable $$x^2=t$$, tenemos la ecuación
$$$\displaystyle t^2+t-12=0 \Rightarrow t=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2}= \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2}= \frac{-1 \pm 7}{2} \left \{\begin{matrix} t_1=3 \\ t_2=4\end{matrix}\right.$$$ Deshaciendo el cambio:
$$x^2=t \Rightarrow x=\pm\sqrt{t}$$
$$x=\pm\sqrt{3}$$
$$x=\pm\sqrt{-4} \Rightarrow $$ no tiene solución.
Por tanto obtenemos $$2$$ soluciones: $$\sqrt{3}$$ y $$-\sqrt{3}$$.
3) Aplicando el cambio de variable: $$$t^2-25=0 \Rightarrow t^2=25 \Rightarrow t=\pm\sqrt{25} = \pm5$$$
Deshaciendo el cambio:
$$x^2=t \Rightarrow x=\pm\sqrt{t}$$
$$x=\pm\sqrt{5}$$
$$x=\pm\sqrt{-5} \Rightarrow $$ no tiene solución.
Por tanto tiene $$2$$ soluciones: $$\sqrt{5}$$ y $$-\sqrt{5}$$.
4) Hacemos el cambio de variable $$x^2=t$$, tenemos la ecuación
$$$\displaystyle t^2-3t+2=0 \Rightarrow t=\frac{-3 \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2}}{2}= \frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{2}= \frac{-3 \pm 1}{2} \left \{\begin{matrix} t_1=-1 \\ t_2=-2\end{matrix}\right.$$$ Deshaciendo el cambio:
$$x^2=t \Rightarrow x=\pm\sqrt{t}$$
$$x=\pm\sqrt{-1} \Rightarrow $$ no tiene solución.
$$x=\pm\sqrt{-2} \Rightarrow $$ no tiene solución.
Por tanto no tiene solución.
Solución:
1) Tenemos $$3$$ soluciones: $$0$$, $$\sqrt{2}$$, $$-\sqrt{2}$$. 2) Tenemos $$2$$ soluciones: $$\sqrt{3}$$ y $$-\sqrt{3}$$. 3) Tenemos $$2$$ soluciones: $$\sqrt{5}$$ y $$-\sqrt{5}$$. 4) No tiene solución.