Ejercicios de Ecuaciones bicuadradas

Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas, indicando el número de soluciones obtenidas:

1) $$x^4-2x^2=0$$

2) $$x^4+x^2-12=0$$

3) $$x^4-25=0$$

4) $$x^4-3x^2+2=0$$

Ver desarrollo y solución

Desarrollo:

1) Como no tenemos término independiente podemos sacar factor común:

$$$x^4-2x^2=0 \Rightarrow x^2\cdot(x^2-2)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=0 \Rightarrow x=0 \\ x^2-2=0 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$$

Tenemos tres soluciones $$0$$, $$\sqrt{2}$$, $$-\sqrt{2}$$.

2) Hacemos el cambio de variable $$x^2=t$$, tenemos la ecuación

$$$\displaystyle t^2+t-12=0 \Rightarrow t=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2}= \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2}= \frac{-1 \pm 7}{2} \left \{\begin{matrix} t_1=3 \\ t_2=4\end{matrix}\right.$$$ Deshaciendo el cambio:

$$x^2=t \Rightarrow x=\pm\sqrt{t}$$

$$x=\pm\sqrt{3}$$

$$x=\pm\sqrt{-4} \Rightarrow $$ no tiene solución.

Por tanto obtenemos $$2$$ soluciones: $$\sqrt{3}$$ y $$-\sqrt{3}$$.

3) Aplicando el cambio de variable: $$$t^2-25=0 \Rightarrow t^2=25 \Rightarrow t=\pm\sqrt{25} = \pm5$$$

Deshaciendo el cambio:

$$x^2=t \Rightarrow x=\pm\sqrt{t}$$

$$x=\pm\sqrt{5}$$

$$x=\pm\sqrt{-5} \Rightarrow $$ no tiene solución.

Por tanto tiene $$2$$ soluciones: $$\sqrt{5}$$ y $$-\sqrt{5}$$.

4) Hacemos el cambio de variable $$x^2=t$$, tenemos la ecuación

$$$\displaystyle t^2-3t+2=0 \Rightarrow t=\frac{-3 \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2}}{2}= \frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{2}= \frac{-3 \pm 1}{2} \left \{\begin{matrix} t_1=-1 \\ t_2=-2\end{matrix}\right.$$$ Deshaciendo el cambio:

$$x^2=t \Rightarrow x=\pm\sqrt{t}$$

$$x=\pm\sqrt{-1} \Rightarrow $$ no tiene solución.

$$x=\pm\sqrt{-2} \Rightarrow $$ no tiene solución.

Por tanto no tiene solución.

Solución:

1) Tenemos $$3$$ soluciones: $$0$$, $$\sqrt{2}$$, $$-\sqrt{2}$$. 2) Tenemos $$2$$ soluciones: $$\sqrt{3}$$ y $$-\sqrt{3}$$. 3) Tenemos $$2$$ soluciones: $$\sqrt{5}$$ y $$-\sqrt{5}$$. 4) No tiene solución.

Ocultar desarrollo y solución
Ver teoría