Ejercicios de Ecuaciones bicuadradas

Desarrollo:

1) Como no tenemos término independiente podemos sacar factor común:

$$x^4-2x^2=0\Rightarrow x^2\cdot (x^2-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}^2=0\Rightarrow x=0\\ x^2-2=0\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}\end{array}$$

Tenemos tres soluciones $0$, $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$.

2) Hacemos el cambio de variable $x^2=t$, tenemos la ecuación

$${\displaystyle t^2+t-12=0\Rightarrow t=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-12)}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2}\{\begin{array}{c}{t}_1=3\\ t_2=4\end{array}}$$ Deshaciendo el cambio:

$x^2=t\Rightarrow x=\pm \sqrt{t}$

$x=\pm \sqrt{3}$

$x=\pm \sqrt{-4}\Rightarrow$ no tiene solución.

Por tanto obtenemos $2$ soluciones: $\sqrt{3}$ y $-\sqrt{3}$.

3) Aplicando el cambio de variable: $$t^2-25=0\Rightarrow t^2=25\Rightarrow t=\pm \sqrt{25}=\pm 5$$

Deshaciendo el cambio:

$x^2=t\Rightarrow x=\pm \sqrt{t}$

$x=\pm \sqrt{5}$

$x=\pm \sqrt{-5}\Rightarrow$ no tiene solución.

Por tanto tiene $2$ soluciones: $\sqrt{5}$ y $-\sqrt{5}$.

4) Hacemos el cambio de variable $x^2=t$, tenemos la ecuación

$${\displaystyle t^2-3t+2=0\Rightarrow t=\frac{-3\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2}=\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{2}=\frac{-3\pm 1}{2}\{\begin{array}{c}{t}_1=-1\\ t_2=-2\end{array}}$$ Deshaciendo el cambio:

$x^2=t\Rightarrow x=\pm \sqrt{t}$

$x=\pm \sqrt{-1}\Rightarrow$ no tiene solución.

$x=\pm \sqrt{-2}\Rightarrow$ no tiene solución.

Por tanto no tiene solución.

Solución:

1) Tenemos $3$ soluciones: $0$, $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$. 2) Tenemos $2$ soluciones: $\sqrt{3}$ y $-\sqrt{3}$. 3) Tenemos $2$ soluciones: $\sqrt{5}$ y $-\sqrt{5}$. 4) No tiene solución.

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