Ecuaciones bicuadradas

Ahora vamos a aprender a resolver ecuaciones de este tipo:

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0$

es decir ecuaciones de cuarto grado en las que no tenemos términos de grado impar. Estas ecuaciones se llaman bicuadradas.

Para resolverlas las transformaremos en ecuaciones de segundo grado.

Veamos un ejemplo que nos ayudará a entender mejor el proceso:

Ejemplo

Queremos resolver la siguiente ecuación:

$x^{4} - 8 x^{2} + 12 = 0$

Si hacemos el cambio de variable $x^{2} = t$ nos queda la ecuación:

$t^{2} - 8 t + 12 = 0$

Esta ecuación sí sabemos resolverla:

$t = \frac{8 \pm \sqrt{(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = = {\begin{matrix} t_{1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \\ t_{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \end{matrix}$

Por tanto tenemos dos soluciones:

$t_{1} = 6 t_{2} = 2$

Pero nosotros queremos encontrar el valor de $x$ , si deshacemos el cambio tendremos:

$\begin{array}{rclcrcl} x^{2} & = & t & ⟶ & x & = & \pm \sqrt{t} \\ x & = & \pm \sqrt{t_{1}} & ⟶ & x & = & \pm \sqrt{6} \\ x & = & \pm \sqrt{t_{2}} & ⟶ & x & = & \pm \sqrt{2} \end{array}$

Por tanto obtenemos $4$ soluciones:

$\begin{matrix} x_{1} = \sqrt{6} & x_{3} = \sqrt{2} \\ x_{2} = - \sqrt{6} & x_{4} = - \sqrt{2} \end{matrix}$

Ahora que hemos visto un ejemplo de cómo se resuelven este tipo de ecuaciones, nos podríamos preguntar si siempre obtendremos $4$ soluciones.

La respuesta es que no, veamos porqué.

El número de soluciones de la ecuación dependerá de número de soluciones de la ecuación de segundo grado ya que por cada solución positiva de la ecuación de segundo grado tendremos $2$ soluciones en la bicuadrada.

Así podemos asegurar que como máximo tendremos $4$ soluciones en la ecuación bicuadrada.