Definición y resolución general de ecuaciones de 2º grado

Una ecuación como $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ se dice que es de segundo grado porque el exponente de la $x$ (que es la incógnita) está elevado a $2$ (una ecuación como por ejemplo $4 x^{3} + 2 x + 10 = 0$ , ya no sería de segundo grado, sino de tercero).

La forma general de una ecuación de este tipo es:

$a x^{2} + b x + c = 0$

En donde $x$ es la incógnita y $a$ , $b$ , $c$ son números cualesquiera.

La fórmula que nos permite resolver este tipo de ecuaciones es la siguiente:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

En esta operación final aparece un signo $\pm$ , y es que, en principio, una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones diferentes, una de ellas se obtiene cuando utilizamos el $+$ y la otra cuando utilizamos el $-$ .

Ejemplo

Vamos a aplicar esta fórmula a la ecuación $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ .

Escribimos los valores de $a$ , $b$ y $c$ :

$a = 1, b = 3 y c = - 10$

y los sustituimos en la fórmula:

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2} =$

$= \frac{- 3 \pm 7}{2}$

Y nos da dos soluciones diferentes:

$\frac{- 3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \frac{- 3 - 7}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5$

De manera que la ecuación propuesta tiene como soluciones $2$ y $- 5$ .

En la mayoría de los libros de texto las soluciones se indican escribiendo un subíndice en la letra $x$ , de manera que en nuestro caso tendríamos: $x_{1} = 2 x_{2} = - 5$

Las soluciones de la ecuación se llaman raíces. Es lo mismo decir que $2$ y $- 5$ son las soluciones, que decir que las raíces de la ecuación $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ son $2$ y $- 5$ .

Veamos otros ejemplos:

Ejemplo

Resolver la ecuación $6 x^{2} - 5 x - 4 = 0$ . $a = 6$ , $b = - 5$ y $c = - 4$

$x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{12} = \frac{5 \pm 11}{12} =$

$= {\begin{matrix} x_{1} = \frac{4}{3} \\ x_{2} = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

Ejemplo

Encontrar las soluciones de la ecuación $x^{2} + x - 2 = 0$ . $a = 1$ , $b = 1$ y $c = - 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{- 1 \pm 3}{2} = {\begin{matrix} x_{1} = 1 \\ x_{2} = - 2 \end{matrix}$

Ejemplo

¿Cuales son las raíces de $2 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ ? $a = 2$ , $b = - 5$ y $c = - 1$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4} = = {\begin{matrix} x_{1} = 2.69 \\ x_{2} = - 0.19 \end{matrix}$

Ejemplo

Resolver $x^{2} - 16 = 0$ . $a = 1$ , $b = 0$ y $c = - 16$

$x = \frac{0 \pm \sqrt{0 - 4 \cdot (- 16)}}{2} = \frac{\pm 8}{2} = {\begin{matrix} x_{1} = 4 \\ x_{2} = - 4 \end{matrix}$

Ejemplo

Encontrar las raíces de $2 x^{2} - 4 x = 0$ . $a = 2$ , $b = - 4$ y $c = 0$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot 0}}{2 \cdot 2} = {\begin{matrix} x_{1} = 2 \\ x_{2} = 0 \end{matrix}$

A veces los términos de la ecuación están agrupados de diferente forma, como en $5 - x = 3 x^{2}$ en cuyo caso basta con pasarlo todo al primer miembro $- 3 x^{2} - x + 5 = 0$

En otros casos puede que la incógnita no esté representada por la letra $x$ , como en $3 k^{2} - 8 k + 5 = 0$ , lo que no cambia las cosas. Las soluciones para esta ecuación son: $\begin{matrix} k_{1} = 1 \\ k_{2} = \frac{5}{3} \end{matrix}$

Es importante recordar que la raíz cuadrada de un número negativo no existe dentro del conjunto de los números reales. Cuando nos encontremos en un caso así diremos que la ecuación no tiene soluciones en $R$ .

Ejemplo

Encontrar las raíces de $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ . $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{4}$ Esta ecuación no tiene soluciones en $R$ .