Sabemos que la forma general de una ecuación de segundo grado es $$ax^2+bx+c=0$$. En el caso de que alguno de los coeficientes $$a, b$$ o $$c$$ sea cero, las soluciones pueden obtenerse de manera muy sencilla.
- Si $$a = 0$$ la ecuación queda en la forma $$bx + c = 0$$ cuya solución inmediata es $$\displaystyle x=-\frac{c}{b}$$. Este caso no lo consideramos ya que no se trata de una ecuación de segundo grado, sino de una ecuación lineal o de primer grado (el máximo exponente a que está elevada la $$x$$ es $$1$$).
- Si $$b = 0$$ nos encontramos con una ecuación del tipo $$ax^2+c=0$$ a la que podemos aplicar la fórmula, pero es más simple resolverla despejando directamente la incógnita: $$x=\pm \displaystyle \sqrt{\frac{-c}{a}}$$
$$x^2-16=0$$
$$$\displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{16}{4}}=\pm \sqrt{4}=\pm 2 =\left\{\begin{matrix} x_1=2 \\ x_2=-2\end{matrix}\right.$$$
- Cuando $$c = 0$$ la ecuación se convierte en $$ax^2+bx=0$$.
En este caso basta con sacar $$x$$ factor común $$x\cdot (ax + b) = 0$$. Cuando el producto de dos factores es cero, al menos uno de ellos debe ser cero, con lo que las dos soluciones se obtienen haciendo igual a cero cada uno de los factores:
$$$x = 0$$$
$$$ax + b = 0 \Rightarrow \displaystyle x= -\frac{b}{a}$$$.
$$12x^2-4x=0$$
$$$\displaystyle x_1=0 \\ x_2=\dfrac{1}{3}$$$
Las ecuaciones de segundo grado del tipo:
$$$ax^2+c=0 \\ ax^2+bx=0$$$ se llaman ecuaciones de segundo grado incompletas.