Definició i resolució general d'equacions de 2n grau

Una equació com $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ es diu que és de segon grau perquè l'exponent de la $x$ (que és la incògnita) està elevat a $2$ (una equació com ara $4 x^{3} + 2 x + 10 = 0$ , ja no seria de segon grau, sinó de tercer).

La forma general d'una equació d'aquest tipus és:

$a x^{2} + b x + c = 0$ En on $x$ és la incògnita i $a$ , $b$ , $c$ són nombres qualssevol.

La fórmula que ens permet resoldre aquest tipus d'equacions és la següent:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

En aquesta operació final apareix un signe $\pm$ , i és que, en principi, una equació de segon grau pot tenir dues solucions diferents, una d'elles s'obté quan utilitzem el $+$ i l'altra quan utilitzem el $-$ .

Exemple

Anem a aplicar aquesta fórmula a l'equació $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ .

Escrivim els valors de $a$ , $b$ i $c$ :

$a = 1, b = 3 i c = - 10$

i els substituïm en la fórmula:

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2} =$

$= \frac{- 3 \pm 7}{2}$

I ens dóna dues solucions diferents:

$\frac{- 3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \frac{- 3 - 7}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5$

De manera que l'equació proposta té com a solucions $2$ i $- 5$ .

En la majoria dels llibres de text les solucions s'indiquen escrivint un subíndex en la lletra $x$ , de manera que en el nostre cas tindríem:

$x_{1} = 2 x_{2} = - 5$

Les solucions de l'equació s'anomenen arrels. És el mateix dir que $2$ i $- 5$ són les solucions, de dir que les arrels de l'equació $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ són $2$ i $- 5$ .

Vegem altres exemples:

Exemple

Resoldre l'equació $6 x^{2} - 5 x - 4 = 0$ . $a = 6$ , $b = - 5$ i $c = - 4$

$x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{12} = \frac{5 \pm 11}{12} =$

$= {\begin{matrix} x_{1} = \frac{4}{3} \\ x_{2} = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

Exemple

Trobar les solucions de l'equació $x^{2} + x - 2 = 0$ . $a = 1$ , $b = 1$ i $c = - 2$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{- 1 \pm 3}{2} = {\begin{matrix} x_{1} = 1 \\ x_{2} = - 2 \end{matrix}$

Exemple

Quines són les arrels de $2 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ ? $a = 2$ , $b = - 5$ i $c = - 1$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4} = = {\begin{matrix} x_{1} = 2.69 \\ x_{2} = - 0.19 \end{matrix}$

Exemple

Resoldre $x^{2} - 16 = 0$ . $a = 1$ , $b = 0$ i $c = - 16$

$x = \frac{0 \pm \sqrt{0 - 4 \cdot (- 16)}}{2} = \frac{\pm 8}{2} = {\begin{matrix} x_{1} = 4 \\ x_{2} = - 4 \end{matrix}$

Exemple

Trobar les arrels de $2 x^{2} - 4 x = 0$ . $a = 2$ , $b = - 4$ i $c = 0$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot 0}}{2 \cdot 2} = {\begin{matrix} x_{1} = 2 \\ x_{2} = 0 \end{matrix}$

De vegades els termes de l'equació estan agrupats de diferent forma, com en $5 - x = 3 x^{2}$ en aquest cas n'hi ha prou amb passar-ho tot al primer membre $- 3 x^{2} - x + 5 = 0$

En altres casos pot ser que la incògnita no estigui representada per la lletra $x$ , com en $3 k^{2} - 8 k + 5 = 0$ , el que no canvia les coses. Les solucions per a aquesta equació són: $\begin{matrix} k_{1} = 1 \\ k_{2} = \frac{5}{3} \end{matrix}$

És important recordar que l'arrel quadrada d'un nombre negatiu no existeix dins del conjunt dels nombres reals. Quan ens trobem en un cas així direm que l'equació no té solucions en $R$ .

Exemple

Trobar les arrels de $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ . $a = 1$ , $b = 2$ i $c = 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{4}$

Aquesta equació no té solucions en $R$ .