Equació de segon grau a partir de les solucions i de la suma i el producte de les arrels

Construcció d'una equació de segon grau a partir de les seves solucions

Anem a veure ara la manera com es pot construir una equació de segon grau quan es coneixen les solucions.

Exemple

Les solucions de l'equació $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ són:

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{- 2 \pm 4}{2} = {\begin{matrix} x_{1} = 1 \\ x_{2} = - 3 \end{matrix}$

Observem ara què passa quan fem el producte $(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$

$(x - 1) \cdot (x + 3) = x^{2} - x + 3 x - 3 = x^{2} + 2 x - 3$

Hem arribat doncs a l'equació original.

De manera que "el producte de $x$ menys una arrel per $x$ menys l'altra arrel és igual a l'equació de segon grau que té com a solucions aquestes arrels".

Exemple

Si les solucions de l'equació són $x_{1} = 4, x_{2} = 2$ l'equació corresponent de segon grau és:

$(x - 4) (x - 2) = x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Exemple

Si les solucions de l'equació són $x_{1} = - 2, x_{2} = - 5$ l'equació corresponent de segon grau és:

$(x + 1) (x + 5) = x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Exemple

Si les solucions de l'equació són $x_{1} = 3, x_{2} = - \frac{2}{3}$ l'equació corresponent de segon grau és:

$(x - 3) (x + \frac{2}{3}) = x^{2} - \frac{7}{3} x - 2 = 0$

Exemple

Si les arrels de l'equació són $x_{1} = 0, x_{2} = 16$ l'equació corresponent de segon grau és:

$(x - 0) (x - 16) = x^{2} + 16 x = 0$

Reconstrucció d'una equació de segon grau a partir de la suma i el producte d'arrels

Sabem que $(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$ condueix a l'equació que té a $x_{1}, x_{2}$ com solucions. Si fem aquest producte:

$(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) = x^{2} - x_{1} x - x_{2} x + x_{1} x_{2} = x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}$

expressió en la que apareixen la suma i el producte d'arrels als que podem anomenar $s$ i $p$ .

$s = x_{1} + x_{2} p = x_{1} \cdot x_{2}$

Amb el que l'equació de segon grau adquireix la forma:

$x^{2} - s x + p = 0$

Exemple

Construir una equació de segon grau sabent que la suma de les seves arrels val $5$ i el producte $6$ .

Tindrem $s = 5, p = 6$ amb el que l'equació serà:

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Aquest mètode és més ràpid que el de fer el producte d'arrels:

Vegem més exemples:

Exemple

L'equació de segon grau que té per solucions $4$ i $9$ és:

$x^{2} - 13 x + 36 = 0$

Exemple

L'equació de segon grau que té per solucions $- 3$ i $- 5$ és:

$x^{2} + 8 x + 15 = 0$

En principi no és senzill crear un enunciat que ens condueixi a una equació de segon grau. La manera més senzilla seria escriure literalment el que diu l'equació.

Exemple

Si volem que la solució del problema sigui l'equació $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ podem plantejar un enunciat del tipus: Si elevem una quantitat al quadrat i després li restem cinc vegades aquesta mateixa quantitat el resultat és menys $6$ , quina és aquesta quantitat?

És clar que és un enunciat més interessant el que diu "Trobar dos nombres sabent que la seva suma val $5$ i el producte $6$ " enunciat que condueix a la mateixa equació i les solucions són les resultants de resoldre l'equació proposta:

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} = {\begin{matrix} x_{1} = 3 \\ x_{2} = 2 \end{matrix}$

Aquestes mateixes dades ens permeten fer un plantejament de tipus geomètric.

Exemple

Sabem que el perímetre d'un rectangle és $10$ i la seva àrea $6$ . Calcular els costats d'aquest rectangle.

imagen

El perímetre del rectangle és la suma de tots els seus costats, de manera que $a + a + b + b = 2 a + 2 b = 2 (a + b) = 10$ , que és, $a + b = 5$

D'altra banda l'àrea del rectangle és $a \cdot b = 6$ .

Després el que se'ns demana és que resolem una equació de segon grau en què la suma d'arrels val $5$ i el producte $6$ , el que ens porta a l'equació $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

La solució és:

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

Amb el que els costats del rectangle seran $a = 2$ i $b = 3$