Equacions biquadrades

Anem a aprendre a resoldre equacions d'aquest tipus:

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0$

és a dir equacions de quart grau en què no tenim termes de grau senar. Aquestes equacions s'anomenen biquadrades.

Per resoldre-les transformarem en equacions de segon grau.

Vegem un exemple que ens ajudarà a entendre millor el procés:

Exemple

Volem resoldre la següent equació:

$x^{4} - 8 x^{2} + 12 = 0$

Si fem el canvi de variable $x^{2} = t$ ens queda l'equació:

$t^{2} - 8 t + 12 = 0$

Aquesta equació sí que la sabem resoldre:

$t = \frac{8 \pm \sqrt{(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = = {\begin{matrix} t_{1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \\ t_{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \end{matrix}$

Per tant tenim dues solucions:

$t_{1} = 6 t_{2} = 2$

Però nosaltres volem trobar el valor de $x$ , si desfem el canvi tindrem:

$\begin{array}{rclcrcl} x^{2} & = & t & ⟶ & x & = & \pm \sqrt{t} \\ x & = & \pm \sqrt{t_{1}} & ⟶ & x & = & \pm \sqrt{6} \\ x & = & \pm \sqrt{t_{2}} & ⟶ & x & = & \pm \sqrt{2} \end{array}$

Per tant obtenim $4$ solucions:

$\begin{matrix} x_{1} = \sqrt{6} & x_{3} = \sqrt{3} \\ x_{2} = - \sqrt{6} & x_{4} = - \sqrt{2} \end{matrix}$

Ara que hem vist un exemple de com es resolen aquest tipus d'equacions, ens podríem preguntar si sempre obtindrem $4$ solucions.

La resposta és que no, veiem perquè.

El nombre de solucions de l'equació dependrà de nombre de solucions de l'equació de segon grau ja que per cada solució positiva de l'equació de segon grau tindrem $2$ solucions a la biquadrades.

Així podem assegurar que com a màxim tindrem $4$ solucions en l'equació biquadrades.