Discriminant d'una equació de segon grau

El discriminant d'una equació de segon grau $a x^{2} + b x + c = 0$ és un número que indiquem amb la lletra $D$ (en alguns textos s'utilitza la lletra grega $Δ$ ). El valor es calcula de la següent manera: $D = b^{2} - 4 a c$ .

Exemple

$x^{2} + 3 x - 10 = 0 \to D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10) = 9 + 40 = 49$

$x^{2} + 2 x + 5 = 0 \to D = 2^{2} - 4 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16$

$x^{2} - 16 = 0 \to D = - 4 \cdot 1 \cdot (- 16) = 64$

De manera que el discriminant és el que en la solució general de l'equació figura dins de l'arrel quadrada.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

Quan el discriminant valgui zero, l'equació tindrà una solució única (també es diu que l'equació té una solució doble).

Si és menor que zero, com no existeixen les arrels de nombres negatius als reals, l'equació no tindrà solucions. I si és major que zero, l'equació tindrà dues solucions.

$D > 0$ dues solucions
$D = 0$ solució única
$D < 0$ no té solucions a $R$

Exemple

En els exemples anteriors podem afirmar, sense necessitat de resoldre les equacions que:

$x^{2} + 3 x - 10 = 0$ té dues solucions, ja que $D = 49 > 0$
$x^{2} + 2 x + 5 = 0$ no té solucions ja que $D = - 16 < 0$
$x^{2} - 4 x + 4 = 0$ té una solució única, ja que $D = 0$