El discriminante de una ecuación de segundo grado $$ax^2+bx+c=0$$ es un número que indicamos con la letra $$D$$ (en algunos textos se utiliza la letra griega $$\Delta$$) cuyo valor se calcula de la siguiente forma:
$$$D=b^2-4ac$$$
$$$x^2+3x-10=0 \rightarrow D=3^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)=9+40=49$$$
$$$x^2+2x+5=0 \rightarrow D= 2^2-4 \cdot 5= 4-20=-16$$$
$$$x^2-16=0 \rightarrow D=-4 \cdot 1 \cdot (-16)=64$$$
De manera que el discriminante es lo que en la solución general de la ecuación figura dentro de la raíz cuadrada.
$$$\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$$
Cuando el discriminante valga cero, la ecuación tendrá una solución única (también se dice que la ecuación tiene una solución doble).
Si es menor que cero, como no existen las raíces de números negativos, la ecuación no tendrá soluciones. Y si es mayor que zero, la ecuación tendrá dos soluciones.
- $$D > 0$$ dos soluciones
- $$D = 0$$ solución única
- $$D < 0$$ no tiene soluciones en $$\mathbb{R}$$
En los ejemplos anteriores podemos afirmar, sin necesidad de resolver las ecuaciones que:
- $$x^2+3x-10=0$$ tiene dos soluciones, ya que $$D = 49 > 0$$
- $$x^2+2x+5=0$$ no tiene soluciones ya que $$D = -16 < 0$$
- $$x^2-4x+4=0$$ tiene una solución única, ya que $$D = 0$$