Ejercicios de Ecuaciones equivalentes de primer grado

Plantea al menos tres ecuaciones equivalentes de cada una de las siguientes:

$\frac{x}{2} - 7 = \frac{1}{2}$
$3 x - 5 = 10$

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Desarrollo:

Se trata de mover y operar términos de las ecuaciones para conseguir equivalentes.

Por ejemplo, un primer paso en la primera ecuación es multiplicarla por $2$ para eliminar los denominadores:

$2 [\frac{x}{2} - 7 = \frac{1}{2}] \Rightarrow x - 14 = 1$

La ecuación que se obtiene es equivalente a la inicial.

Ahora se podría expresar $x$ como $3 x - 2 x$ , pero pasando $2 x$ al segundo término, con lo que cambia de signo:

$3 x - 2 x - 14 = 1 \Rightarrow 3 x - 14 = 2 x + 1$

Finalmente, si se pasa una unidad del término $14$ al otro lado se obtiene:

$3 x - 13 = 2 x + 2$

Con lo que se puede sacar factor común al segundo miembro y se consigue introducir un paréntesis:

$3 x - 13 = 2 (x + 1)$

En la segunda ecuación se podría dejar la igualdad a $0$ :

$3 x - 5 - 10 = 0$

También se pueden unificar los términos independientes operando:

$3 x - 15 = 0$

Ahora, la ecuación puede simplificarse si se divide entre $3$ :

$[3 x - 15 = 0] / 3 \Rightarrow x - 5 = 0$

Con este último paso ya se han conseguido las tres ecuaciones equivalentes que pide el ejercicio, pero se podrían conseguir muchas más, basta con ir probando a desglosar términos e irlos moviendo a lado y lado de la igualdad.

Solución:

$x - 14 = 1; 3 x - 14 = 2 x + 1; 3 x - 13 = 2 (x + 1)$
$3 x - 5 - 10 = 0; 3 x - 15 = 0; x - 5 = 0$

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