Ecuaciones equivalentes de primer grado

La ecuación:

$x - 2 = 3$

tiene como solución:

$x = 3 + 2 \Rightarrow x = 5$

Mientras que en esta otra ecuación:

$3 x - 3 = 2 x + 2$

La solución es:

$3 x - 2 x = 2 + 3 \Rightarrow x = 5$

Cuando dos ecuaciones tienen la misma solución se dice que son ecuaciones equivalentes.

Hay un par de reglas básicas para generar ecuaciones equivalentes:

Cuando se suma o se resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación se consigue una ecuación equivalente.

Ejemplo

En el primer ejemplo, si se suma $3$ a ambos lados de la igualdad se obtiene:

$x - 2 + 3 = 3 + 3 \Rightarrow x + 1 = 6$

Esta ecuación es totalmente equivalente a la primera. Se puede verificar comprobando que tienen el mismo resultado:

$x + 1 = 6 \Rightarrow x = 6 - 1 \Rightarrow x = 5$

Al multiplicar o dividir un mismo número a los dos miembros de la ecuación también se consigue una ecuación equivalente.

Ejemplo

Por ejemplo, si se multiplica por $2$ ambos lados de la ecuación inicial si tiene:

$2 (x - 2) = 2 (3) \Rightarrow 2 x - 4 = 6$

La ecuación obtenida es equivalente a la inicial. Se comprueba resolviéndola:

$2 x = 6 + 4 \to 2 x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{2} = 5$

Este último punto es interesante para eliminar denominadores de las ecuaciones, con lo que se simplifican y se facilita su resolución.

Ejemplo

En la siguiente ecuación:

$- 5 - \frac{x}{3} = 11$

Si se multiplica por $3$ se elimina el denominador:

$3 (- 5 - \frac{x}{3} = 11) \Rightarrow - 15 - x = 33$

Esta segunda ecuación es equivalente a la inicial y es casi directa de resolver: $- x = 33 + 15 \Rightarrow - x = 48 \Rightarrow x = - 48$

Tener soltura para generar ecuaciones equivalentes es útil para crear ejercicios. El punto de partida para plantear una ecuación es conocer su resultado de antemano.

Ejemplo

Por ejemplo, si se quiere que $x = 2$ , la siguiente ecuación es una posibilidad:

$2 x - 5 = - 1$

Puesto que si se sustituye el resultado se mantiene la igualdad:

$2 \cdot 2 - 5 = - 1 \Rightarrow 4 - 5 = - 1 \Rightarrow - 1 = - 1$

Ahora se puede generar una ecuación equivalente para hacer que la ecuación parezca más complicada. Por ejemplo, se puede desglosar el término $- 5$ en la expresión $- 3 - 2$ y moverlos de posición:

$- 3 + 2 x - 2 = - 1$

También se puede desglosar la incógnita. Por ejemplo: se puede expresar $2 x$ como $5 x - 3 x$ , pero pasando el $- 3 x$ al otro lado de la igualdad, con lo que cambia de signo:

$- 3 + 5 x - 2 = - 1 + 3 x$

Ahora, si se opera el primer miembro se obtiene:

$5 x - 5 = 3 x - 1$

En este caso se puede sacar factor común al primer miembro (5), con lo que se consigue introducir un paréntesis:

$5 (x - 1) = 3 x - 1$

Finalmente, se puede multiplicar toda la ecuación por mismo número, por ejemplo el $2$ :

$2 \cdot [5 \cdot (x - 1) = 3 x - 1] \Rightarrow 10 \cdot (x - 1) = 6 x - 2$

Todas las ecuaciones planteadas hasta el momento son equivalentes a la inicial y, por tanto, tienen como solución $x = 2$ .