Problemas con ecuaciones de primer grado

Aprenderemos a plantear problemas que se resuelvan a partir de una ecuación dada.

Por ejemplo, la ecuación:

$x + 14 = 3 x$

tiene como solución:

$x - 3 x = - 14 \Rightarrow - 2 x = - 14 \Rightarrow \frac{- 14}{- 2} = 7$

Partiendo de estas premisas se puede plantear un problema real que se resuelva mediante la ecuación descrita. Un recurso sencillo es plantear un enunciado sobre números, "traduciendo"a palabras lo que implica la ecuación en sí, es decir:

"Si a un número se le suma $14$ se obtiene el triple de dicho número. ¿De qué número se trata?"

Si se denomina $x$ al número, el triple será $3 x$ , con lo que ya se puede plantear y resolver la ecuación mencionada. Como el resultado ya es conocido se sabe de antemano que la solución es $7$ , pero se sustituye para comprobar que el resultado es válido:

$7 + 14 = 3 \cdot 7 \Rightarrow 21 = 21$

Es decir, $7$ más $14$ es igual a $21$ , es decir, el triple de $7$ .

Este mismo tipo de problema se podría plantear con objetos reales, como monedas, caramelos, etc.

Por ejemplo:

Ejemplo

"En una tienda de golosinas un niño compra $14$ piruletas, con lo que consigue tener el triple de las que tenía. ¿Cuántas tenía inicialmente?"

El problema se resuelve con la misma ecuación inicial, puesto que $x + 14$ representa la cantidad de piruletas que tiene después de la compra y $3 x$ es el triple de la cantidad inicial.

Por tanto, la solución es que inicialmente tenía $7$ piruletas.

Ejemplo

Para esta otra ecuación:

$2 x + \frac{x}{3} = 77$

la solución es:

$\frac{6 x + x}{3} = 77 \to \frac{7 x}{3} = 77 \Rightarrow 7 x = 231 \Rightarrow x = \frac{231}{7} = 33$

Y un posible problema sería:

"Calcula cuál es el número que al sumar su doble más su tercera parte es igual a $77$ ."

El número es el $33$ , puesto que, efectivamente, el doble de $33$ $(66)$ y su tercera parte $(11)$ suman $77$ :

$2 \cdot 33 + \frac{33}{3} = 77 \Rightarrow 66 + 11 = 77 \Rightarrow 77 = 77$

Siguiendo en el ámbito de las golosinas, un enunciado alternativo podría ser el siguiente:

Ejemplo

"¿Cuántos chicles tiene un niño si dice que el doble de dicha cantidad más su tercera parte es igual a $77$ ?"

El doble de la cantidad será $2 x$ , mientras que la tercera parte de dicha cantidad es $\frac{x}{3}$ .

Así que la ecuación sirve para resolver el problema, con lo que el niño tiene $33$ chicles.

Y otro enunciado más podría ser jugando con las edades de una persona, por ejemplo:

Ejemplo

"¿Cuántos años tiene María si el doble de su edad y un tercio de la misma suman $77$ ?"

Si la edad de María es $x$ , el doble es $2 x$ y un tercio es $\frac{x}{3}$ .

Así que la ecuación también sirve para resolver el problema, de modo que María tiene $33$ años.