Problemes amb equacions de primer grau

Aprendrem a plantejar problemes que es resolguin a partir d'una equació donada.

Per exemple, l'equació:

$x + 14 = 3 x$

té com a solució:

$x - 3 x = - 14 \Rightarrow - 2 x = - 14 \Rightarrow \frac{- 14}{- 2} = 7$

Partint d'aquestes premisses es pot plantejar un problema real que es resolgui mitjançant l'equació descrita. Un recurs senzill és plantejar un enunciat sobre nombres, "traduint" a paraules el que implica l'equació en si, és a dir:

"Si a un nombre li sumem $14$ s'obté el triple d'aquest nombre. De quin nombre es tracta??"

Si s'anomena $x$ al nombre, el triple serà $3 x$ , de manera que ja es pot plantejar i resoldre l'equació esmentada. Com el resultat ja és conegut se sap per endavant que la solució és $7$ , però se substitueix per comprovar que el resultat és vàlid:

$7 + 14 = 3 \cdot 7 \Rightarrow 21 = 21$

És a dir, $7$ més $14$ és igual a $21$ , és a dir, el triple de $7$ .

Aquest mateix tipus de problema es podria plantejar amb objectes reals, com monedes, caramels, etc.

Per exemple:

Exemple

"En una botiga de llaminadures un nen compra $14$ piruletes, amb el que aconsegueix tenir el triple de les que tenia. Quantes tenia inicialment?"

El problema es resol amb la mateixa equació inicial, ja que $x + 14$ representa la quantitat de piruletes que té després de la compra i $3 x$ és el triple de la quantitat inicial.

Per tant, la solució és que inicialment tenia $7$ piruletes.

Exemple

Per aquesta altra equació:

$2 x + \frac{x}{3} = 77$

la solució és:

$\frac{6 x + x}{3} = 77 \to \frac{7 x}{3} = 77 \Rightarrow 7 x = 231 \Rightarrow x = \frac{231}{7} = 33$

I un possible problema seria:

"Calcula quin és el número que sumar el seu doble més la seva tercera part és igual a $77$ ."

El número és el $33$ , ja que, efectivament, el doble de $33$ $(66)$ i la seva tercera part $(11)$ sumen $77$ :

$2 \cdot 33 + \frac{33}{3} = 77 \Rightarrow 66 + 11 = 77 \Rightarrow 77 = 77$

Seguint en l'àmbit de les llaminadures, un enunciat alternatiu podria ser el següent:

Exemple

"Quants xiclets té un nen si diu que el doble d'aquesta quantitat més la seva tercera part és igual a $77$ ?"

El doble de la quantitat serà $2 x$ , mentre que la tercera part d'aquesta quantitat és $\frac{x}{3}$ .

Així que l'equació serveix per resoldre el problema, de manera que el nen té $33$ xiclets.

I un altre enunciat més podria ser jugant amb les edats d'una persona, per exemple:

Exemple

"Quants anys té la Maria si el doble de la seva edat i un terç de la mateixa sumen $77$ ?"

Si l'edat de Maria és $x$ , el doble és $2 x$ i un terç és $\frac{x}{3}$ .

Així que l'equació també serveix per resoldre el problema, de manera que Maria té $33$ anys.