Equacions equivalents de primer grau

L'equació:

$x - 2 = 3$

té com a solució:

$x = 3 + 2 \Rightarrow x = 5$

Mentre que en aquesta altra equació:

$3 x - 3 = 2 x + 2$

la solució és:

$3 x - 2 x = 2 + 3 \Rightarrow x = 5$

Quan dues equacions tenen la mateixa solució es diu que són equacions equivalents.

Hi ha un parell de regles bàsiques per a generar equacions equivalents:

Quan es suma o es resta un mateix nombre als dos membres d'una equació s'aconsegueix una equació equivalent.

Exemple

En el primer exemple, si es suma $3$ a banda i banda de la igualtat s'obté:

$x - 2 + 3 = 3 + 3 \Rightarrow x + 1 = 6$

Aquesta equació és totalment equivalent a la primera. Es pot verificar comprovant que tenen el mateix resultat:

$x + 1 = 6 \Rightarrow x = 6 - 1 \Rightarrow x = 5$

En multiplicar o dividir un mateix nombre als dos membres de l'equació també s'aconsegueix una equació equivalent.

Exemple

Per exemple, si es multiplica per $2$ els dos costats de l'equació inicial es té:

$2 (x - 2) = 2 (3) \Rightarrow 2 x - 4 = 6$

L'equació obtinguda és equivalent a la inicial. Es comprova: resolem-la,

$2 x = 6 + 4 \to 2 x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{2} = 5$

Aquest últim punt és interessant per eliminar denominadors de les equacions, de manera que se simplifiquen i es facilita la seva resolució.

Exemple

En la següent equació:

$- 5 - \frac{x}{3} = 11$

Si es multiplica per $3$ s'elimina el denominador:

$3 (- 5 - \frac{x}{3} = 11) \Rightarrow - 15 - x = 33$

Aquesta segona equació és equivalent a la inicial i és gairebé directa de resoldre: $- x = 33 + 15 \Rightarrow - x = 48 \Rightarrow x = - 48$

Tenir soltesa per generar equacions equivalents és útil per crear ítems. El punt de partida per plantejar una equació és conèixer el seu resultat per endavant.

Exemple

Per exemple, si es vol que $x = 2$ , la següent equació és una possibilitat:

$2 x - 5 = - 1$

Ja que si se substitueix el resultat es manté la igualtat:

$2 \cdot 2 - 5 = - 1 \Rightarrow 4 - 5 = - 1 \Rightarrow - 1 = - 1$

Ara es pot generar una equació equivalent per fer que l'equació sembli més complicada. Per exemple, es pot desglossar el terme $- 5$ en l'expressió $- 3 - 2$ i moure'ls de posició:

$- 3 + 2 x - 2 = - 1$

També es pot desglossar la incògnita. Per exemple: es pot expressar $2 x$ com $5 x - 3 x$ , però passant el $- 3 x$ a l'altra banda de la igualtat, de manera que canvia de signe:

$- 3 + 5 x - 2 = - 1 + 3 x$

Ara, si s'opera el primer membre s'obté:

$5 x - 5 = 3 x - 1$

En aquest cas es pot treure factor comú al primer membre (5), de manera que s'aconsegueix introduir un parèntesi:

$5 (x - 1) = 3 x - 1$

Finalment, es pot multiplicar tota l'equació per mateix nombre, per exemple el $2$ :

$2 \cdot [5 \cdot (x - 1) = 3 x - 1] \Rightarrow 10 \cdot (x - 1) = 6 x - 2$

Totes les equacions plantejades fins al moment són equivalents a la inicial i, per tant, tenen com a solució $x = 2$ .