Definició i resolució d'equacions de primer grau

L'expressió:

$x - 1 = 7$

és una equació. És a dir, una igualtat que es compleix per un valor de $x$ .

El costat esquerre de la igualtat s'anomena primer membre de l'equació i el dret, segon membre.

A la igualtat hi ha números coneguts ( $- 1$ i $7$ ) i altres que no ho són ( $x$ ).

Són els termes de l'equació: $x$ és la incògnita, ja que és el número que s'ha de trobar, i $- 1$ i $7$ són termes independents, perquè no estan associats a cap incògnita.

Totes les equacions que es tractaran en aquest tema es denominen lineals o de primer grau perquè la potència a la qual està elevada la incògnita és $1$ , o el que és el mateix, que les incògnites no tenen exponents.

Tornant a l'exemple, el que està preguntant l'equació és: quin número dóna $7$ si se li resta $1$ ?

La resposta gairebé immediata és $8$ . Es pot comprovar si aquest nombre compleix la igualtat substituint en l'equació $x$ per $8$ :

$8 - 1 = 7 \Rightarrow 7 = 7$

I, efectivament, $8$ és la solució, ja que la igualtat es compleix.

Podria ser $- 6$ una altra solució? Es comprova una altra vegada substituint $x$ per aquest número:

$- 6 - 1 = 7 \Rightarrow - 7 \neq 7$

La igualtat no es compleix, així que $- 6$ no és solució de l'equació.

Es pot aplicar el mateix raonament a la següent equació:

$2 x = 12$

És a dir, quin nombre multiplicat per $2$ dóna $12$ ? No s'ha de pensar molt per concloure que és el $6$ . Es substitueix $x$ per aquest número per comprovar que la deducció és certa:

$2 \cdot 6 = 12 \Rightarrow 12 = 12$

La igualtat es compleix, de manera que $6$ és solució de l'equació.

Habitualment, les equacions no són tan senzilles, en el sentit que no sempre és tan fàcil deduir la seva solució com en els casos anteriors.

Per resoldre equacions hi ha un mètode bastant efectiu que es resumeix en els següents punts:

Agrupar els termes amb incògnita a un costat de la igualtat, normalment el primer membre, i els independents a l'altre.
Operar sempre que sigui possible per simplificar l'expressió. Això implica treure parèntesi i denominadors si n'hi ha.
Aïllar la incògnita.

Exemple

En aplicar el mètode als exemples anteriors:

$x - 1 = 7 \Rightarrow x = 7 + 1 \Rightarrow x = 8$

$2 x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{2} \Rightarrow x = 6$

Per passar elements d'un costat a altre de la igualtat s'ha de tenir en compte que:

Si estan sumant o restant passen a l'altre costat amb el signe contrari.

Exemple

$- 2 - 3 x = 7 \Rightarrow - 3 x = 7 + 2$

Si estan multiplicant passen dividint i a l'inrevés, però el signe no es modifica en canviar de costat.

Exemple

Seguint amb la mateixa equació de l'exemple:

$- 3 x = 7 + 2 \Rightarrow x = \frac{7 + 2}{- 3} = \frac{9}{- 3} = - 3$

Exemple

Apliquem els passos per resoldre equacions al següent exemple:

$- 2 x + 3 = 5$

El primer pas és agrupar els termes amb $x$ en el primer membre.

Per això es passa el $3$ al segon, tenint en compte que canvia de costat amb el signe contrari:

$- 2 x = 5 - 3$

S'opera el segon membre:

$- 2 x = 2$

Ara cal desfer-se del $- 2$ que està multiplicant a la $x$ .

El producte, com en aquest cas, passa a l'altra banda de la igualtat com a quocient, però sense canviar de signe, de manera que:

$x = \frac{2}{- 2} = - 1$

Per comprovar si el resultat és correcte es substitueix el valor trobat per $x$ :

$- 2 x + 3 = 5 \Rightarrow - 2 \cdot (- 1) + 3 = 5 \Rightarrow 2 + 3 = 5 \Rightarrow 5 = 5$

El resultat és correcte, ja que es compleix la igualtat.

Exemple

$1 + \frac{x}{2} = - 3$

Es comença aïllant els termes amb $x$ en el primer membre. Per a això es passa l' $1$ al segon, concretament amb el signe contrari:

$\frac{x}{2} = - 3 - 1$

Si operem el segon membre:

$\frac{x}{2} = - 4$

I ara es passa l'element que està dividint $x$ entre $2$ . Per això cal tenir en compte que un quocient passa a l'altra banda multiplicant (i sense canviar de signe), de manera que:

$x = - 4 \cdot 2 = - 8$

Es comprova que el resultat és correcte substituint el valor trobat per $x$ :

$1 + \frac{x}{2} = - 3 \Rightarrow 1 + \frac{- 8}{2} = - 3 \Rightarrow 1 - 4 = - 3 \Rightarrow - 3 = - 3$

El valor obtingut és, de nou, vàlid.

De vegades hi ha equacions lineals amb una incògnita que no tenen solució.

Exemple

$\frac{x}{2} - 1 = \frac{3 x}{2} - x$

Si s'aplica el mètode i s'aïllen tots els termes amb $x$ en el primer membre i el terme independent en el segon s'obté:

$\frac{x}{2} - 1 = \frac{3 x}{2} - x \Rightarrow \frac{x}{2} - \frac{3 x}{2} + x = 1$

Ara cal aplicar el mínim comú múltiple:

$\frac{x}{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{2 x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{3 x - 3 x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{0}{2} = 1 \Rightarrow 0 = 2$

La incògnita desapareix en realitzar les operacions. Quan això passa es diu que l'equació no té solució.

Una eina útil a l'hora de plantejar problemes amb literatura és saber escriure una equació a partir de la seva solució. Anem a veure com escriure una equació que volem que tingui una solució concreta.

Exemple

Volem escriure una equació que tingui com a solució el valor $7$ . S'escriu de la següent manera: $x = 7$ .

Si restem $3$ a banda i banda de la igualtat, ens donarà la mateixa solució: $x - 3 = 7 - 3$ .

Multipliquem ara per $2$ a banda i banda de la igualtat:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x - 3) & = & 2 \cdot (7 - 3) \\ 2 \cdot (x - 3) & = & 2 \cdot 4 \\ 2 \cdot (x - 3) & = & 8 \end{array}$

Si avaluem $7$ a l'equació tindrem que és una solució:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (7 - 3) & = & 8 \\ 2 \cdot 4 & = & 8 \\ 8 & = & 8 \end{array}$

Aquesta equació $2 \cdot (x - 3) = 8$ es podria plantejar després de llegir el següent enunciat: "Fa $3$ anys, el doble de la meva edat era $8$ . Quants anys tinc ara? ".