Definición y resolución de ecuaciones de primer grado

La expresión:

$x - 1 = 7$

es una ecuación, es decir, una igualdad que se cumple para un valor de $x$ .

El lado izquierdo de la igualdad se denomina primer miembro de la ecuación y el derecho, segundo miembro.

En la igualdad hay números conocidos ( $- 1$ y $7$ ) y otros que no lo son ( $x$ ).

Son los términos de la ecuación: $x$ es la incógnita, puesto que es el número que se debe hallar, y $- 1$ y $7$ son términos independientes, porque no están asociados a ninguna incógnita.

Todas las ecuaciones que se tratarán en este tema se denominan lineales o de primer grado porque la potencia a la que está elevada la incógnita es $1$ , o lo que es lo mismo, que las incógnitas no tienen exponentes.

Volviendo al ejemplo, lo que está preguntando la ecuación es: ¿qué número da $7$ si se le resta $1$ ?

La respuesta casi inmediata es $8$ . Se puede comprobar si dicho número cumple la igualdad sustituyendo en la ecuación $x$ por $8$ :

$8 - 1 = 7 \Rightarrow 7 = 7$

Y, efectivamente, $8$ es la solución, puesto que la igualdad se cumple.

¿Podría ser $- 6$ otra solución? Se comprueba de nuevo sustituyendo $x$ por dicho número: $- 6 - 1 = 7 \Rightarrow - 7 \neq 7$ La igualdad no se cumple, así que $- 6$ no es solución a la ecuación.

Se puede aplicar el mismo razonamiento a la siguiente ecuación:

$2 x = 12$

Es decir, ¿qué número multiplicado por $2$ da $12$ ? No hay que pensar mucho para concluir que es el $6$ . Se sustituye $x$ por dicho número para comprobar que la deducción es cierta:

$2 \cdot 6 = 12 \Rightarrow 12 = 12$

La igualdad se cumple, por lo que $6$ es solución de la ecuación.

Habitualmente, las ecuaciones no son tan sencillas, en el sentido que no siempre es tan fácil deducir su solución como en los casos anteriores.

Para resolver ecuaciones hay un método bastante efectivo que se resume en los siguientes puntos:

Agrupar los términos con incógnita a un lado de la igualdad, normalmente el primer miembro, y los independientes al otro.
Operar siempre que sea posible para simplificar la expresión. Esto implica quitar paréntesis y denominadores si los hubiera.
Despejar la incógnita.

Ejemplo

Al aplicar el método a los ejemplos anteriores:

$x - 1 = 7 \Rightarrow x = 7 + 1 \Rightarrow x = 8$

$2 x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{2} \Rightarrow x = 6$

Para pasar elementos de un lado a otro de la igualdad hay que tener en cuenta que:

Si están sumando o restando pasan al otro lado con el signo contrario.

Ejemplo

$- 2 - 3 x = 7 \Rightarrow - 3 x = 7 + 2$

Si están multiplicando pasan dividiendo y viceversa, pero el signo no se modifica al cambiar de lado.

Ejemplo

Siguiendo con la misma ecuación del ejemplo:

$- 3 x = 7 + 2 \Rightarrow x = \frac{7 + 2}{- 3} = \frac{9}{- 3} = - 3$

Ejemplo

Apliquemos los pasos para resolver ecuaciones al siguiente ejemplo: $- 2 x + 3 = 5$

El primer paso es agrupar los términos con $x$ en el primer miembro.

Para ello se pasa el $3$ al segundo, teniendo en cuenta que cambia de lado con el signo contrario:

$- 2 x = 5 - 3$

Se opera el segundo miembro:

$- 2 x = 2$

Ahora hay que deshacerse del $- 2$ que está multiplicando a $x$ .

El producto, como en este caso, pasa al otro lado de la igualdad como cociente, pero sin cambiar de signo, de modo que:

$x = \frac{2}{- 2} = - 1$

Para comprobar si el resultado es correcto se sustituye el valor hallado para $x$ :

$- 2 x + 3 = 5 \Rightarrow - 2 \cdot (- 1) + 3 = 5 \Rightarrow 2 + 3 = 5 \Rightarrow 5 = 5$

El resultado es correcto, puesto que se cumple la igualdad.

Ejemplo

$1 + \frac{x}{2} = - 3$

Se empieza aislando los términos con $x$ en el primer miembro. Para ello se pasa el $1$ al segundo, concretamente con el signo contrario:

$\frac{x}{2} = - 3 - 1$

Si operamos el segundo miembro:

$\frac{x}{2} = - 4$

Y ahora se pasa el elemento que está dividiendo $x$ entre $2$ . Para ello hay que tener en cuenta que un cociente pasa al otro lado multiplicando (y sin cambiar de signo), de modo que:

$x = - 4 \cdot 2 = - 8$

Se comprueba que el resultado es correcto sustituyendo el valor hallado para $x$ :

$1 + \frac{x}{2} = - 3 \Rightarrow 1 + \frac{- 8}{2} = - 3 \Rightarrow 1 - 4 = - 3 \Rightarrow - 3 = - 3$

El valor obtenido es, de nuevo, válido.

A veces hay ecuaciones lineales con una incógnita que no tienen solución.

Ejemplo

$\frac{x}{2} - 1 = \frac{3 x}{2} - x$

Si se aplica el método y se aíslan todos los términos con $x$ en el primer miembro y el término independiente en el segundo se obtiene:

$\frac{x}{2} - 1 = \frac{3 x}{2} - x \Rightarrow \frac{x}{2} - \frac{3 x}{2} + x = 1$

Ahora hay que aplicar el mínimo común múltiplo:

$\frac{x}{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{2 x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{3 x - 3 x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{0}{2} = 1 \Rightarrow 0 = 2$

La incógnita desaparece al realizar las operaciones. Cuando esto ocurre se dice que la ecuación no tiene solución.

Una herramienta útil a la hora de plantear problemas con literatura es saber escribir una ecuación a partir de su solución. Vamos a ver como escribir una ecuación que queremos que tenga una solución concreta.

Ejemplo

Queremos escribir una ecuación que tenga solución el valor $7$ . Se escribe de la siguiente manera: $x = 7$ .

Si restamos $3$ a ambos lados de la igualdad, nos dará la misma solución: $x - 3 = 7 - 3$ .

Multiplicamos ahora por $2$ a ambos lados de la igualdad:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x - 3) & = & 2 \cdot (7 - 3) \\ 2 \cdot (x - 3) & = & 2 \cdot 4 \\ 2 \cdot (x - 3) & = & 8 \end{array}$

Si evaluamos $7$ en la ecuación tendremos que es una solución

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (7 - 3) & = & 8 \\ 2 \cdot 4 & = & 8 \\ 8 & = & 8 \end{array}$

Esta ecuación $2 \cdot (x - 3) = 8$ se podría plantear tras leer el siguiente enunciado: “Hace $3$ años, el doble de mi edad era $8$ . ¿Cuántos años tengo ahora?”.