Indica el dominio y la imagen de la siguiente función:
$$$f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -1 & \mbox{ si } & x<-1 \\ 2x+1 & \mbox{ si } & -1\leq x < 2 \\ 2 & \mbox{ si } & x\geq 3\end{array}\right.$$$
Desarrollo:
El dominio de la primera función lo podemos encontrar a partir de los intervalos de definición:
$$$Dom (f) = (-\infty,-1)\cup[-1,2)\cup[3,+\infty)=(-\infty,2)\cup[3,+\infty)$$$
Para determinar la imagen nos podemos fijar en las imágenes de las distintas funciones que componen la función, teniendo en cuenta en que dominio están definidas.
Para $$x < -1$$ o $$x > 3$$ no tenemos problemas ya que sabemos cuánto vale la función en cada intervalo.
Para la recta que hay entre $$-1$$ y $$2$$, calculamos cuánto vale en dichos puntos:
$$2x+1$$ en $$x =-1$$ vale $$-1$$
$$2x +1$$ en $$x = 2$$ vale $$5$$
Por tanto $$Im (f) = [-1, 5)$$.
Hay que tener en cuenta que incluiremos los puntos extremos en la imagen según si en el intervalo de definición se incluyen o no.
Solución:
$$Dom(f)=(-\infty,2)\cup[3,+\infty)$$, $$Im (f) = [-1, 5)$$