Funciones definidas a trozos

Ejemplo

Así la función definida por $$f(x)=\{\begin{array}{rcl}-x-1& \text{ si }& x\le -3\\ 3& \text{ si }& -1<x<1\\ x-2& \text{ si }& x\ge 1\end{array}=\{\begin{array}{rcl}-x-1& \text{ si }& x\in (-\mathrm{\infty },3]\\ 3& \text{ si }& x\in (-1,1)\\ x-2& \text{ si }& x\in [1,+\mathrm{\infty }]\end{array}$$ es una función definida a trozos.

Ejemplo

En el caso anterior por ejemplo,

• si $x=-4$, sustituimos en $f(x)=-x-1$ y obtenemos $f(-4)=3$
• si $x=-2$, la imagen no está definida ya que $-2$ no pertenece a ningún intervalo de definición de la función.
• si $x=0.5$, sustituimos en $f(x)=3$ obteniendo $f(0.5)=3$
• si $x=1$ sustituimos en $f(X)=x-2$ obteniendo $f(1)=-1$

Como las expresiones que definen cada uno de los trozos tienen como dominio al menos el propio trozo, el dominio de la función $f(x)$ está formado por la unión de los intervalos de definición de la función. $$Dom(f)=(-\mathrm{\infty },-3]\cup (-1,1)\cup [1,+\mathrm{\infty })=(-\mathrm{\infty },-3]\cup (-1,+\mathrm{\infty })$$ Si nos fijamos ahora en el gráfico de la función anterior que presentamos a continuación, podemos observar que $Im(f)=[-1,+\mathrm{\infty })$:

Ejemplo

Consideramos la función ${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rcl}1& \text{ si }& x\le 2\\ 2& \text{ si }& x>2\end{array}}$.

Su gráfica es la unión de las gráficas de las funciones $f(x)=1$ para $x\le 2$ y $f(x)=2$ para $x>2$.

La representación gráfica sería:

Ejemplo

Consideramos la función ${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rcl}-x& \text{ si }& x\le -1\\ x^2& \text{ si }& -1<x<1\\ x& \text{ si }& x\ge 1\end{array}}$

Esta vez su gráfica será la unión de una recta, una parábola y otra recta, definidas cada una donde indica la función.

Ejemplo

${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rcl}2x-1& \text{ si }& x<1\\ x+3& \text{ si }& x>1\end{array}}$

y si queremos evaluar en $x=-1$ obtendremos: $f(-1)=f_1(-1)=2(-1)=2(-1)-1=-2-1=-3$

Ejemplo

${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rcl}x-1& \text{ si }& x<-3\\ x^2+1& \text{ si }& -3\le <0\\ 3& \text{ si }& 0\le x\le 100\\ \ln (x+e^x)& \text{ si }x>100\end{array}}$

y si queremos evaluar en $x=-1$ obtendremos: $f(-1)=f_2(-1)=(-1{)}^2+1=1+1=2$

Ejemplo

El siguiente ejemplo no sería una función definida a trozos ya que los conjuntos de definición de las subfunciones no son disjuntos: $${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rcl}x& \text{ si }& x<0\\ x+1& \text{ si }& -1<x<2\\ -3& \text{ si }x\ge 2\end{array}}$$

ya que para puntos en $(-1,0)$ se tendría que evaluar la función en $f_1(x)=x$ y en $f_2(x)=x+1$, y como obentdríamos dos valores para un solo punto, ésto no cumpliría la definición de función.