Funcions definides a trossos

Exemple

Així la funció definida per $$f(x)=\{\begin{array}{rcl}-x-1& \text{ si }& x\le -3\\ 3& \text{ si }& -1<x<1\\ x-2& \text{ si }& x\ge 1\end{array}=\{\begin{array}{rcl}-x-1& \text{ si }& x\in (-\mathrm{\infty },3]\\ 3& \text{ si }& x\in (-1,1)\\ x-2& \text{ si }& x\in [1,+\mathrm{\infty }]\end{array}$$ és una funció definida a trossos.

Exemple

En el cas anterior per exemple,

• si $x=-4$, substituïm en $f(x)=-x-1$ i obtenim $f(-4)=3$
• si $x=-2$, la imatge no està definida ja que $-2$ no pertany a cap interval de definició de la funció.
• si $x=0.5$, substituïm en $f(x)=3$ obtenim $f(0.5)=3$
• si $x=1$ substituïm en $f(X)=x-2$ obtenim $f(1)=-1$

Com les expressions que defineixen cada un dels trossos tenen com a domini com a mínim el mateix tros, el domini de la funció $f(x)$ està format per la unió dels intervals de definició de la funció. $$Dom(f)=(-\mathrm{\infty },-3]\cup (-1,1)\cup [1,+\mathrm{\infty })=(-\mathrm{\infty },-3]\cup (-1,+\mathrm{\infty })$$ Si ens fixem ara en el gràfic de la funció anterior que presentem a continuació, podem observar que $Im(f)=[-1,+\mathrm{\infty })$:

Exemple

Considerem la funció ${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rcl}1& \text{ si }& x\le 2\\ 2& \text{ si }& x>2\end{array}}$.

La seva gràfica és la unió de les gràfiques de les funcions $f(x)=1$ per $x\le 2$ i $f(x)=2$ per $x>2$.

La representació gràfica seria:

Exemple

Considerem la funció ${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rcl}-x& \text{ si }& x\le -1\\ x^2& \text{ si }& -1<x<1\\ x& \text{ si }& x\ge 1\end{array}}$

Aquesta vegada la seva gràfica serà la unió d'una recta, una paràbola i una altra recta, definides cadascuna on indica la funció.

Exemple

${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rcl}2x-1& \text{ si }& x<1\\ x+3& \text{ si }& x>1\end{array}}$

i si volem avaluar en $x=-1$ obtindrem: $f(-1)=f_1(-1)=2(-1)=2(-1)-1=-2-1=-3$

Exemple

${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rcl}x-1& \text{ si }& x<-3\\ x^2+1& \text{ si }& -3\le <0\\ 3& \text{ si }& 0\le x\le 100\\ \ln (x+e^x)& \text{ si }x>100\end{array}}$

i si volem avaluar en $x=-1$ obtindrem: $f(-1)=f_2(-1)=(-1{)}^2+1=1+1=2$

Exemple

El següent exemple no seria una funció definida a trossos ja que els conjunts de definició de les subfuncions no són disjunts: $${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rcl}x& \text{ si }& x<0\\ x+1& \text{ si }& -1<x<2\\ -3& \text{ si }x\ge 2\end{array}}$$

ja que per punts en $(-1,0)$ s'hauria d'avaluar la funció en $f_1(x)=x$ i en $f_2(x)=x+1$, i com obtindríem dos valors per a un sol punt, això no compliria la definició de funció.