Dominio de una función

En sustituir $$x$$ por un número real en la expresión analítica de una función, el resultado no siempre es otro número real.

Consideremos por ejemplo la función $$f(x)=\displaystyle \sqrt{x-3}$$. Para poder calcular imágenes necesitamos que lo de dentro de la raíz sea mayor o igual que cero, ya que la raíz de un número negativo no es un número real.

Por tanto, sólo tienen imágenes por $$f$$ los números reales $$x$$ mayores o iguales que $$3$$.

El dominio de una función $$f$$ es el conjunto de números reales que tienen imagen por $$f$$. Se denota $$Dom(f)$$ o $$D(f)$$.

Calcular el dominio de las siguientes funciones.

  1. $$f (x) = 2x - 1$$
  2. $$f(x)=3x^2$$

  3. $$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$$

  4. Observamos que la imagen de cualquier número real $$x$$ es otro número real. Por tanto $$Dom (f) = \mathbb{R}$$
  5. Como en el caso anterior, la imagen de cualquier número real $$x$$ es otro número real. Por tanto $$Dom (f) = \mathbb{R}$$
  6. En este caso, la imagen de cualquier número real es otro número real exceptuando el cero, para el cuál la función no está definida. Así tenemos, $$Dom (f) =\mathbb{R} - \{0\}$$

Cálculo de dominios

Para calcular el dominio de una función tenemos que partir de que puede ser cualquier número de la recta real $$(\mathbb{R})$$ e ir restringiendo el conjunto dependiendo de la función. Para hacer estas restricciones debemos localizar los puntos "débiles" de nuestras funciones o mejor dicho, los puntos de no definición. A continuación listamos los conjuntos de no definición de las principales funciones:

Función Conjunto de no definición
$$f(x)=log(g(x))$$ $$\{ x | g(x) \leq 0\} =$$ los valores $$x$$ tal que $$g(x)$$ es negativa o cero
$$f(x)=\sqrt{g(x)}$$ $$\{x | g(x) < 0 \} =$$ los valores de $$x$$ tal que $$g(x)$$ es negativa
$$f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$$ $$\{ x | h(x) = 0 \} =$$ los valores de $$x$$ tal que $$h(x)$$ vale cero
$$f(x)=\sqrt[2n]{g(x)}$$ $$\{ x | g(x) < 0 \} =$$ los valores de $$x$$ tal que $$g(x)$$ es negativa

Veamos un ejemplo:

Si tomamos la función $$f(x)=\Big( \dfrac{2x+1}{x-4}-ln(x+8)\Big) \cdot \sqrt{x^2+1}$$ y queremos encontrar su dominio debemos considerar que es toda la recta real y irla restringiendo según encontremos puntos o intervalos de no definición.

En este caso, observamos que tenemos $$3$$ posibles intervalos de no definición:

  1. cuando $$x-4$$ sea cero $$\Rightarrow x-4=0 \Rightarrow x=4$$ la función no está definida.
  2. cuando $$x+8$$ sea negativo o cero $$\Rightarrow x+8\leq 0 \Rightarrow x\leq -8$$ la función no está definida.
  3. cuando $$x^2+1$$ sea negativo $$\Rightarrow x^2+1<0 \Rightarrow x^2<-1$$ cosa que no puede pasar ya que $$x$$ cuadrado siempre es positivo, por lo tanto la función no tiene intervalos de no definición.

Entonces, podemos concluir que el dominio de nuestra función será $$Dom(f)=(-8,4)\cup(4,\infty)$$