Dominio de una función

En sustituir x por un número real en la expresión analítica de una función, el resultado no siempre es otro número real.

Consideremos por ejemplo la función f(x)=x−3. Para poder calcular imágenes necesitamos que lo de dentro de la raíz sea mayor o igual que cero, ya que la raíz de un número negativo no es un número real.

Por tanto, sólo tienen imágenes por f los números reales x mayores o iguales que 3.

El dominio de una función f es el conjunto de números reales que tienen imagen por f. Se denota Dom(f) o D(f).

Ejemplo

Calcular el dominio de las siguientes funciones.

  1. f(x)=2x−1
  2. f(x)=3x2

  3. f(x)=1x

  4. Observamos que la imagen de cualquier número real x es otro número real. Por tanto Dom(f)=R
  5. Como en el caso anterior, la imagen de cualquier número real x es otro número real. Por tanto Dom(f)=R
  6. En este caso, la imagen de cualquier número real es otro número real exceptuando el cero, para el cuál la función no está definida. Así tenemos, Dom(f)=R−{0}

Cálculo de dominios

Para calcular el dominio de una función tenemos que partir de que puede ser cualquier número de la recta real (R) e ir restringiendo el conjunto dependiendo de la función. Para hacer estas restricciones debemos localizar los puntos "débiles" de nuestras funciones o mejor dicho, los puntos de no definición. A continuación listamos los conjuntos de no definición de las principales funciones:

Función Conjunto de no definición
f(x)=log(g(x)) {x|g(x)≤0}= los valores x tal que g(x) es negativa o cero
f(x)=g(x) {x|g(x)<0}= los valores de x tal que g(x) es negativa
f(x)=g(x)h(x) {x|h(x)=0}= los valores de x tal que h(x) vale cero
f(x)=g(x)2n {x|g(x)<0}= los valores de x tal que g(x) es negativa

Ejemplo

Veamos un ejemplo:

Si tomamos la función f(x)=(2x+1x−4−ln(x+8))⋅x2+1 y queremos encontrar su dominio debemos considerar que es toda la recta real y irla restringiendo según encontremos puntos o intervalos de no definición.

En este caso, observamos que tenemos 3 posibles intervalos de no definición:

  1. cuando x−4 sea cero ⇒x−4=0⇒x=4 la función no está definida.
  2. cuando x+8 sea negativo o cero ⇒x+8≤0⇒x≤−8 la función no está definida.
  3. cuando x2+1 sea negativo ⇒x2+1<0⇒x2<−1 cosa que no puede pasar ya que x cuadrado siempre es positivo, por lo tanto la función no tiene intervalos de no definición.

Entonces, podemos concluir que el dominio de nuestra función será Dom(f)=(−8,4)∪(4,∞)