Domini d'una funció

En substituir $$x$$ per un nombre real en l'expressió analítica d'una funció, el resultat no sempre és un altre nombre real.

Considerem ara la funció $$f(x)=\displaystyle \sqrt{x-3}$$. Per poder calcular imatges necessitem que el de dins de l'arrel sigui major o igual que zero, ja que l'arrel d'un nombre negatiu no és un nombre real.

Per tant, només tenen imatges per $$f$$ els nombres reals $$x$$ majors o iguals que $$3$$.

El domini d'una funció $$f$$ és el conjunt de nombres reals que tenen imatge per $$f$$. Es denota $$Dom(f)$$ o $$D(f)$$.

Calculeu el domini de les següents funcions.

  1. $$f (x) = 2x - 1$$
  2. $$f(x)=3x^2$$

  3. $$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$$

  4. Observem que la imatge de qualsevol nombre real $$x$$ és un altre nombre real. Per tant $$Dom (f) = \mathbb{R}$$
  5. Com en el cas anterior, la imatge de qualsevol nombre real $$x$$ és un altre nombre real. Per tant $$Dom (f) = \mathbb{R}$$
  6. En aquest cas, la imatge de qualsevol nombre real és un altre nombre real exceptuant el zero, per el qual la funció no està definida. Així tenim, $$Dom (f) =\mathbb{R} - \{0\}$$

Càlcul de dominis

Per calcular el domini d'una funció hem de partir de que pot ser qualsevol nombre de la recta real $$(\mathbb{R})$$ i anar restringint el conjunt depenent de la funció. Per fer aquestes restriccions hem de localitzar els punts "febles" de les nostres funcions o millor dit, els punts de no definició. A continuació llistem els conjunts de no definició de les principals funcions:

Funció Conjunt de no definició
$$f(x)=log(g(x))$$ $$\{ x | g(x) \leq 0\} =$$ els valors de $$x$$ tal que $$g(x)$$ es fa negativa o zero
$$f(x)=\sqrt{g(x)}$$ $$\{x | g(x) < 0 \} =$$ els valors de $$x$$ tal que $$g(x)$$ es fa negativa
$$f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$$ $$\{ x | h(x) = 0 \} =$$ els valors de $$x$$ tal que $$h(x)$$ val zero
$$f(x)=\sqrt[2n]{g(x)}$$ $$\{ x | g(x) < 0 \} =$$ els valors de $$x$$ tal que $$g(x)$$ es fa negativa

Vegem un exemple:

Si prenem la funció $$f(x)=\Big( \dfrac{2x+1}{x-4}-ln(x+8)\Big) \cdot \sqrt{x^2+1}$$ i volem trobar el seu domini hem de considerar que és tota la recta real i anar restringint segons trobem punts o intervals de no definició.

En aquest cas, observem que tenim 3 possibles intervals de no definició:

  1. quan $$x-4$$ sigui zero $$\Rightarrow x-4=0 \Rightarrow x=4$$ la funció no estarà definida.
  2. quan $$x+8$$ sigui negatiu o zero $$\Rightarrow x+8\leq 0 \Rightarrow x\leq -8$$ la funció no estarà definida
  3. quan $$x^2+1$$ sigui negatiu $$\Rightarrow x^2+1 < 0 \Rightarrow x^2 < -1$$ cosa que no pot passar ja que x quadrat sempre és positiu, per tant la funció no té intervals de no definició.

Llavors, podem concloure que el domini de la nostra funció serà $$Dom(f)=(-8,4)\cup(4,\infty)$$