Domini d'una funció

En substituir x per un nombre real en l'expressió analítica d'una funció, el resultat no sempre és un altre nombre real.

Considerem ara la funció f(x)=x−3. Per poder calcular imatges necessitem que el de dins de l'arrel sigui major o igual que zero, ja que l'arrel d'un nombre negatiu no és un nombre real.

Per tant, només tenen imatges per f els nombres reals x majors o iguals que 3.

El domini d'una funció f és el conjunt de nombres reals que tenen imatge per f. Es denota Dom(f) o D(f).

Exemple

Calculeu el domini de les següents funcions.

  1. f(x)=2x−1
  2. f(x)=3x2

  3. f(x)=1x

  4. Observem que la imatge de qualsevol nombre real x és un altre nombre real. Per tant Dom(f)=R
  5. Com en el cas anterior, la imatge de qualsevol nombre real x és un altre nombre real. Per tant Dom(f)=R
  6. En aquest cas, la imatge de qualsevol nombre real és un altre nombre real exceptuant el zero, per el qual la funció no està definida. Així tenim, Dom(f)=R−{0}

Càlcul de dominis

Per calcular el domini d'una funció hem de partir de que pot ser qualsevol nombre de la recta real (R) i anar restringint el conjunt depenent de la funció. Per fer aquestes restriccions hem de localitzar els punts "febles" de les nostres funcions o millor dit, els punts de no definició. A continuació llistem els conjunts de no definició de les principals funcions:

Funció Conjunt de no definició
f(x)=log(g(x)) {x|g(x)≤0}= els valors de x tal que g(x) es fa negativa o zero
f(x)=g(x) {x|g(x)<0}= els valors de x tal que g(x) es fa negativa
f(x)=g(x)h(x) {x|h(x)=0}= els valors de x tal que h(x) val zero
f(x)=g(x)2n {x|g(x)<0}= els valors de x tal que g(x) es fa negativa

Exemple

Vegem un exemple:

Si prenem la funció f(x)=(2x+1x−4−ln(x+8))⋅x2+1 i volem trobar el seu domini hem de considerar que és tota la recta real i anar restringint segons trobem punts o intervals de no definició.

En aquest cas, observem que tenim 3 possibles intervals de no definició:

  1. quan x−4 sigui zero ⇒x−4=0⇒x=4 la funció no estarà definida.
  2. quan x+8 sigui negatiu o zero ⇒x+8≤0⇒x≤−8 la funció no estarà definida
  3. quan x2+1 sigui negatiu ⇒x2+1<0⇒x2<−1 cosa que no pot passar ja que x quadrat sempre és positiu, per tant la funció no té intervals de no definició.

Llavors, podem concloure que el domini de la nostra funció serà Dom(f)=(−8,4)∪(4,∞)