Funció constant, lineal i afí

Funció constant

És una funció del tipus $f (x) = k$ on $k$ és un nombre real qualsevol. Fixem-nos que el valor de $f (x)$ és sempre $k$ , independentment del valor de $x$ .

Així, per exemple, si volguéssim representar una quantitat que es manté constant al llarg del temps $t$ , utilitzaríem una funció constant $f (t) = k$ , en què no apareix la variable $t$ .

Les funcions constants tallen l'eix vertical en el valor de la constant i són paral·leles a l'eix horitzontal (i per tant no ho tallen).

La gràfica d'una funció constant, per exemple $f (x) = 2$ , és:

imagen

Funció lineal

La funció de variable real que té per equació general $y = m x$ , la gràfica és una recta que passa per l'origen de coordenades, es diu funció lineal.

En les funcions lineals d'aquest tipus $(y = m x)$ , el valor de m, que correspon a un nombre real, es diu pendent. El pendent mesura la inclinació de la recta respecte de l'eix d'abscisses.

Exemple

El pendent de la recta $y = - 2 x$ és $- 2$ .

El pendent de la recta $y = 0$ és $0$ .

El pendent de la recta $y = 3 x$ és $3$ .

És important entendre que com més gran és el valor del pendent m, major inclinació respecte l'eix horitzontal té la recta. A més,

Si $m$ és positiu ( $m > 0$ ), la recta passa pel primer i pel tercer quadrants.
Si $m$ és negatiu ( $m < 0$ ), la recta passa pel segon i quart quadrants.
Si $m$ és zero ( $m = 0$ ), la recta és horitzontal i coincideix amb l'eix d'abscisses.

imagen

El pendent d'una recta també pot ser calculat a partir de les coordenades d'un punt de la recta per a una funció lineal, i de les coordenades de dos punts en general d'una recta qualsevol.

Vegem la manera general ja que ens servirà també per a les funcions afins:

Donats dos punts d'una recta (sigui una funció lineal o afí), $(x_{1}, y_{1})$ i $(x_{2}, y_{2})$ , podem calcular el pendent d'aquesta recta mitjançant l'expressió: $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Exemple

Donada la següent recta que passa pel punt $(2, - 1)$ :

imagen

podem calcular el pendent, ja que a més del punt $A$ , sabem que passa per l'origen. Així, aplicant la fórmula: $m = \frac{- 1 - 0}{2 - 0} = - \frac{1}{2}$

Funció afí

La funció de variable real que té com a equació general $y = m x + n$ , la gràfica és una recta que no passa per l'origen (si $n \neq 0$ ), s'anomena funció afí.

Com en el cas anterior, $m$ és el pendent de la recta.

És destacable també que el punt de tall d'una funció afí $f (x) = m x + n$ amb l'eix d'ordenades és el punt $(0, n)$ .

Exemple

Un exemple de funció afí podria ser $f (x) = - x + 2$

imagen

Exemple

Donades les següents funcions, determineu de quin tipus són, en quin punt tallen l'eix d'ordenades, el d'abscisses, i quin és el seu pendent.

$f (x) = 2$
$f (x) = 2 x$
$f (x) = 2 x + 2$
Es tracta d'una funció constant. El seu pendent és $0$ i per tant és paral·lela a l'eix d'abscisses. Talla l'eix vertical en $(0, 2)$ .
Es tracta d'una funció lineal. El seu pendent és $2$ . Talla dos eixos en el punt $(0, 0)$ .
Es tracta d'una funció afí. El seu pendent és $2$ . Talla l'eix vertical en el punt $(0, 2)$ , i l'eix horitzontal en $(- 1, 0)$ (fem $y = 0 = 2 x + 2$ i resolem).

imagen