Funcions exponencials

La funció que assigna a la variable independent $x$ el valor de $f(x)=a^x$ s'anomena funció exponencial de base $a$, on $a$ és un nombre real positiu diferent d'$1$.

Així, per exemple, les funcions $f(x)=3^x$ i $h(x)={0.8}^x$ són funcions exponencials de base $3$ i $0,8$ respectivament.

En particular, la funció exponencial de base $e$, $f(x)=e^x$, és especialment important ja que descriu el comportament de diverses situacions reals: evolució de poblacions, desintegració radioactiva, ...

Gràfica

La gràfica de la funció exponencial varia segons si la base $a$ és major o menor que $1$ (recordem que sempre ha de ser major que zero i que no pot ser $1$).

Vegem a continuació les gràfiques de $f(x)=3^x$ i $h(x)={\displaystyle (\frac{1}{3}{)}^x}$ per il·lustrar aquest fenomen.

És destacable que la gràfica d'una funció exponencial sempre passa pel punt $(0,1)$.

Propietats

A partir de la seva representació gràfica observem que les funcions exponencials compleixen les propietats següents:

• Domini: $Dom(f)=\mathbb{R}$
• Imatge: $Im(f)=(0,+\mathrm{\infty })$
• Cotes:acotada inferiorment per $0$
• Intersecció amb els eixos: Talla amb l'eix vertical en $y=1$. No talla l'eix horitzontal.
• Continuïtat: És contínua en tot $\mathbb{R}$
• Asímptotes: La recta $y=0$ és una asímptota horitzontal (però només en un extrem)
• Periodicitat:No és periòdica.
• Simetries: No és simètrica.
• Monotonia: Si $a>1$, la funció és estrictament creixent. Si $a<1$, la funció és estrictament decreixent.
• Extrems relatius: No en té.
• Injectivitat i exhaustivitat: És injectiva (les imatges de punts diferents són diferents), però no és exhaustiva ja que la imatge no és tot $\mathbb{R}$