Funciones exponenciales

La función que asigna a la variable independiente $x$ el valor de $f(x)=a^x$ se llama función exponencial de base $a$, donde $a$ es un número real positivo distinto de $1$.

Así, por ejemplo, las funciones $f(x)=3^x$ y $h(x)={0.8}^x$ son funciones exponenciales de base $3$ y $0.8$ respectivamente.

En particular, la función exponencial de base $e$, $f(x)=e^x$, es especialmente importante ya que describe el comportamiento de varias situaciones reales: evolución de poblaciones, desintegración radioactiva,...

Gráfica

La gráfica de la función exponencial varía según si la base $a$ es mayor o menor que $1$ (recordemos que siempre ha de ser mayor que cero y que no puede ser $1$).

Veamos a continuación las gráficas de $f(x)=3^x$ y $h(x)={\displaystyle (\frac{1}{3}{)}^x}$ para ilustrar este fenómeno.

Es destacable que la gráfica de una función exponencial siempre pasa por el punto $(0,1)$.

Propiedades

A partir de su representación gráfica observamos que las funciones exponenciales cumplen las propiedades siguientes:

• Dominio: $Dom(f)=\mathbb{R}$
• Imagen: $Im(f)=(0,+\mathrm{\infty })$
• Cotas:acotada inferiormente por $0$
• Intersección con los ejes:Corta con el eje vertical en $y=1$. No corta el eje horizontal.
• Continuidad:Es continua en todo $\mathbb{R}$
• Asíntotas:La recta $y=0$ es una asíntota horizontal (pero sólo en un extremo)
• Periodicidad:No es periódica.
• Simetrías: No es simétrica.
• Monotonía: Si $a>1$, la función es estrictamente creciente. Si $a<1$, la función es estrictamente decreciente.
• Extremos relativos:No tiene.
• Inyectividad y exhaustividad: Es inyectiva (las imágenes de puntos diferentes son diferentes), pero no es exhaustiva ya que la imagen no es todo $\mathbb{R}$