Funciones irracionales

Una función irracional es una función en cuya expresión analítica la variable independiente $x$ aparece debajo del símbolo de raíz.

En este apartado consideraremos únicamente funciones irracionales del tipo $${\displaystyle f(x)=\sqrt[n]{g(x)}}$$ con $g(x)$ una función racional.

• Si el índice $n$ de la raíz es impar, es posible calcular la imagen de cualquier número real, siempre y cuando la expresión $g(x)$ sea un número real, es decir, $Dom(f)=Dom(g)$.
• Si el índice $n$ de la raíz es par, para poder calcular imágenes necesitamos que $g(x)$ sea positiva o cero, ya que las raíces pares de un número negativo no son números reales. Por tanto el dominio de $f$ son las soluciones de la inecuación $g(x)\ge 0$. En otras palabras, $Dom(f)=\{x\in \mathbb{R}\mid g(x)\ge 0\}$.

Estudiemos ahora el caso más simple de función irracional: la función raíz cuadrada ${\displaystyle f(x)=\sqrt{x}}$.

Se trata de una función en que el índice de la raíz es $2$. Por tanto, su dominio es el conjunto de soluciones de la inecuación $x\ge 0$. Así tenemos $Dom(f)=[0,+\mathrm{\infty })$ La imagen de la función raíz cuadrada es, como en el caso del dominio, el conjunto de los reales mayores o igual que cero, $Im(f)=[0,+\mathrm{\infty })$

Veamos su representación gráfica: