Funcions irracionals

Una funció irracional és una funció on en l'expressió analítica la variable independent $x$ apareix dins del símbol de l'arrel.

En aquest apartat considerarem únicament funcions irracionals del tipus $${\displaystyle f(x)=\sqrt[n]{g(x)}}$$ amb $g(x)$ una funció racional.

• Si l'índex $n$ de l'arrel és senar, és possible calcular la imatge de qualsevol nombre real, sempre i quan l'expressió g(x) sigui un nombre real, és a dir, $Dom(f)=Dom(g)$.
• Si l'índex $n$ de l'arrel és parell, per poder calcular imatges necessitem que $g(x)$ sigui positiva o zero, ja que les arrels parells d'un nombre negatiu no són nombres reals. Per tant el domini de $f$ són les solucions de la inequació $g(x)\ge 0$. En altres paraules, $Dom(f)=\{x\in \mathbb{R}\mid g(x)\ge 0\}$.

Estudiem ara el cas més simple de funció irracional: la funció arrel quadrada ${\displaystyle f(x)=\sqrt{x}}$.

Es tracta d'una funció en què l'índex de l'arrel és $2$. Per tant, el seu domini és el conjunt de solucions de la inequació $x\ge 0$. Així tenim $Dom(f)=[0,+\mathrm{\infty })$ La imatge de la funció arrel quadrada és, com en el cas del domini, el conjunt dels reals més grans o igual que zero, $Im(f)=[0,+\mathrm{\infty })$

Vegem la seva representació gràfica: