Funcions logarítmiques

La funció que assigna a la variable independent $x$ el valor de $f(x)={\log }_{a}x$ rep el nom de funció logarítmica de base $a$, on $a$ és un nombre real positiu diferent d'$1$.

Observem que si a un valor $x$ li apliquem la funció exponencial de base $a$, i a continuació, la funció logarítmica de base $a$, obtenim una altra vegada $x$, és a dir, $${\log }_a(a^x)=x$$ Anàlogament es compleix que $$a^{{\log }_{a}x}=x$$ Per tant les funcions exponencial i logarítmica són funcions inverses.

Gràfica

Com en el cas de les funcions exponencials, la gràfica de les funcions logarítmiques varia segons si la base és major o menor que $1$.

Vegem-ho amb l'exemple de les funcions $f(x)={\log }_{2}x$ i $h(x)={\displaystyle {\log }_{\frac{1}{2}}x}$.

És destacable que les funcions logarítmiques sempre passen pel punt $(1,0)$ ja que qualsevol nombre elevat a $0$ dóna $1$.

Propietats

A partir de la seva representació gràfica observem que les funcions logarítmiques compleixen les propietats següents:

• Domini: $Dom(f)=(0,+\mathrm{\infty })$
• Imatge: $Im(f)=\mathbb{R}$
• Cotes: No és acotada.
• Intersecció amb els eixos:Talla amb l'eix horitzontal en $x=1$. No talla l'eix vertical.
• Continuïtat: És continua en el seu domini.
• Asímptotes: La recta $x=0$ és una asímptota vertical.
  • Si $a>1$: ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }}$ i ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }}$
  • Si $0<1$: ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }}$ i ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }}$
• Periodicitat: No és periòdica.
• Simetries: No és simètrica.
• Monotonia: si $a>1$, la funció és estrictament creixent. Si $a<1$, la funció és estrictament decreixent.
• Extrems relatius: No en té.
• Injectivitat i exhaustivitat: És injectiva (les imatges de punts diferents són diferents), i també és exhaustiva ja que la imatge és tot $\mathbb{R}$