Funciones logarítmicas

La función que asigna a la variable independiente $x$ el valor de $f(x)={\log }_{a}x$ recibe el nombre de función logarítmica en base $a$, donde a es un número real positivo distinto de $1$.

Observamos que si a un valor $x$ le aplicamos la función exponencial de base $a$, y a continuación, la función logarítmica en base $a$, obtenemos otra vez $x$, es decir, $${\log }_a(a^x)=x$$ Análogamente se cumple que $$a^{{\log }_{a}x}=x$$ Por tanto las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas.

Gráfica

Como en el caso de las funciones exponenciales, la gráfica de las funciones logarítmicas varía según si la base es mayor o menor que $1$.

Veámoslo con el ejemplo de las funciones $f(x)={\log }_{2}x$ y $h(x)={\displaystyle {\log }_{\frac{1}{2}}x}$.

Es destacable que las funciones logarítmicas siempre pasen por el punto $(1,0)$ ya que cualquier número elevado a $0$ da $1$.

Propiedades

A partir de su representación gráfica observamos que las funciones logarítmicas cumplen las propiedades siguientes:

• Dominio: $Dom(f)=(0,+\mathrm{\infty })$
• Imagen: $Im(f)=\mathbb{R}$
• Cotas: No es acotada.
• Intersección con los ejes:Corta con el eje horizontal en $x=1$. No corta el eje vertical.
• Continuidad:Es continua en su dominio.
• Asíntotas: La recta $x=0$ es una asíntota vertical.
  • Si $a>1$: ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }}$ y ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }}$
  • Si $0<1$: ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }}$ y ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }}$
• Periodicidad:No es periódica.
• Simetrías: No es simétrica.
• Monotonía: si $a>1$, la función es estrictamente creciente. Si $a<1$, la función es estrictamente decreciente.
• Extremos relativos: No tiene.
• Inyectividad y exhaustividad:Es inyectiva (las imágenes de puntos diferentes son diferentes), y también es exhaustiva ya que la imagen es todo $\mathbb{R}$