Consideremos la función $$f(x)=x^2+1$$.
A partir de su expresión analítica podemos calcular la imagen de cualquier elemento $$x$$ del conjunto de salida. Para hacerlo basta con sustituir el valor de $$x$$ en la expresión de la función.
Para $$x = 2$$: $$$f(2)=2^2+1=4+1=5$$$
Por tanto, $$5$$ es la imagen de $$2$$ por la función $$f$$.
Escribiremos $$f (2) = 5$$.
Podemos calcular también la antiimagen o las antiimágenes de cualquier elemento $$y$$ del conjunto de llegada. Para hacerlo basta con sustituir el valor de $$y = f (x)$$ en la expresión de la función y aislar $$x$$.
Por ejemplo, la antiimagen de $$y = 10$$ es: $$$\begin{array}{rcl}10&=&x^2+1 \\ x^2&=&9 \\ x&=& \pm 3\end{array}$$$
Por tanto, $$3$$ y $$-3$$ son antiimágenes de $$10$$ por la función $$f$$. Escribiremos: $$$f^{-1}(10)=\{-3, 3\}$$$
Calculad la imagen de $$2$$ y la antiimagen de $$11$$ por la función del ejemplo anterior $$f(x)=3x^2-1$$.
$$f^{-1}(11)$$: $$$\begin{array}{rcl}11 &=& 3x^2-1 \\ 12 &=& 3x^2 \\ x^2&=& 4\\x&=& \pm2=\{-2,2\}\end{array} \Longrightarrow f^{-1}(11)=\{-2,2\}$$$