Cálculo de imágenes y antiimágenes

Consideremos la función $f (x) = x^{2} + 1$ .

A partir de su expresión analítica podemos calcular la imagen de cualquier elemento $x$ del conjunto de salida. Para hacerlo basta con sustituir el valor de $x$ en la expresión de la función.

Ejemplo

Para $x = 2$ : $f (2) = 2^{2} + 1 = 4 + 1 = 5$

Por tanto, $5$ es la imagen de $2$ por la función $f$ .

Escribiremos $f (2) = 5$ .

Podemos calcular también la antiimagen o las antiimágenes de cualquier elemento $y$ del conjunto de llegada. Para hacerlo basta con sustituir el valor de $y = f (x)$ en la expresión de la función y aislar $x$ .

Ejemplo

Por ejemplo, la antiimagen de $y = 10$ es: $\begin{array}{rcl} 10 & = & x^{2} + 1 \\ x^{2} & = & 9 \\ x & = & \pm 3 \end{array}$

Por tanto, $3$ y $- 3$ son antiimágenes de $10$ por la función $f$ . Escribiremos: $f^{- 1} (10) = {- 3, 3}$

Ejemplo

Calculad la imagen de $2$ y la antiimagen de $11$ por la función del ejemplo anterior $f (x) = 3 x^{2} - 1$ .

$f^{- 1} (11)$ : $\begin{array}{rcl} 11 & = & 3 x^{2} - 1 \\ 12 & = & 3 x^{2} \\ x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm 2 = {- 2, 2} \end{array} ⟹ f^{- 1} (11) = {- 2, 2}$