Càlcul d'imatges i antiimatges

Considerem la funció $f (x) = x^{2} + 1$ .

A partir de la seva expressió analítica podem calcular la imatge de qualsevol element $x$ del conjunt de sortida. Per fer-ho només cal substituir el valor de $x$ en l'expressió de la funció.

Exemple

Per $x = 2$ : $f (2) = 2^{2} + 1 = 4 + 1 = 5$

Per tant, $5$ és la imatge de $2$ per la funció $f$ .

Escriurem $f (2) = 5$ .

Podem calcular també la antiimatge o les antiimatges de qualsevol element $y$ del conjunt d'arribada. Per fer-ho només cal substituir el valor de $y = f (x)$ en l'expressió de la funció i aïllar $x$ .

Exemple

Per exemple la antiimatge de $y = 10$ és: $\begin{array}{rcl} 10 & = & x^{2} + 1 \\ x^{2} & = & 9 \\ x & = & \pm 3 \end{array}$

Per tant, $3$ i $- 3$ són antiimatges de $10$ per la funció $f$ . Escriurem: $f^{- 1} (10) = {- 3, 3}$

Exemple

Calculeu la imatge de $2$ i la antiimatge de $11$ per la funció de l'exemple anterior, $f (x) = 3 x^{2} - 1$ .

$f (2) = 3 \cdot 2^{2} - 1 = 11$

$f^{- 1} (11)$ : $\begin{array}{rcl} 11 & = & 3 x^{2} - 1 \\ 12 & = & 3 x^{2} \\ x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm 2 = {- 2, 2} \end{array} ⟹ f^{- 1} (11) = {- 2, 2}$