Determinación gráfica del dominio y de la imagen

Para determinar el dominio y el recorrido de una función a partir de su gráfica, nos fijaremos en todos los pares de números $(x, y)$ representados.

Un número real $x = a$ es del dominio de una función si y sólo si la recta vertical $x = a$ corta la gráfica de la función en algún punto.
Un número real $y = b$ es de la imagen de una función si y sólo si la recta horizontal $y = b$ corta la gráfica de la función en algún punto.

Ejemplo

Determinad el dominio y la imagen de la siguiente función $f$ definida a trozos:

imagen

Observamos, que podemos deducir de la gráfica que la función no es continua. Por la izquierda la función es una recta de pendiente $- 1$ . Por la derecha tenemos una recta horizontal $y = 1$ .

Así, el dominio será el conjunto de los números reales exceptuando el trozo en que la función no está definida dado por el intervalo $[2, 3)$ .

Por tanto, $D o m (f) = R - [2, 3) = (- \infty, 2) \cup [3, + \infty)$ .

Por otro lado se observa claramente que el recorrido de la función es el conjunto de los reales $x > 0$ .

Así, $I m (f) = (0, + \infty) = R^{+}$

Por último, presentamos la expresión analítica de la función:

$f (x) = {\begin{array}{rcl} - x & if & x < 0 \\ 1 & if & x = 0 \\ x & if & 0 < x < 2 \\ 1 & if & x \geq 3 \end{array}$