Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y superconjuntos

Dos conjuntos $A$ y $B$ se dice que son iguales, lo que se escribe $A=B$ si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de $A$ está también contenido en $B$ y todo elemento de $B$ está contenido en $A$. En símbolos: $$x\in A\iff x\in B$$

Un conjunto $A$ se dice que es subconjunto de otro $B$, si cada elemento de $A$ es también elemento de $B$, es decir, cuando se verifique: $$x\in A\Rightarrow x\in B$$ sea cual sea el elemento $x$. En tal caso se escribe $$A\subseteq B$$

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si $A\subseteq B$, se cumpla $A=B$. Si $B$ tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto $A$, pero si todo elemento de $A$ es elemento de $B$, entonces decimos que $A$ es un subconjunto propio de $B$, lo que se representa por $A\subset B$.

Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto $A$ es subconjunto impropio de sí mismo.

Si $A$ es un subconjunto de $B$, se dice también que $B$ es un superconjunto de $A$, lo que se escribe $B\supseteq A$ y se dice que $B$ es un superconjunto propio de $A$ si $B\supset A$.

Por el principio de identidad, es siempre cierto que $$x\in A\Rightarrow x\in A$$ para todo elemento $x$, por lo que todo conjunto es subconjunto y superconjunto de sí mismo.