Dadas las funciones,
1) $$f(x)=x^2-2$$
2) $$f(x)=\sqrt{x+4}$$
3) $$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$$
Determinar la imagen de cada una de ellas.
Ver desarrollo y solución
Desarrollo:
1) Si calculamos el vértice de la parábola:
v:$$\Big( -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \Big)=(0,-2) $$
y por ser $$a = 1> 0$$, la parábola se abre hacia arriba y por tanto se tiene $$Im (f) = [-2, +\infty)$$
2) Por ser una raíz sabemos que $$Im (f) = [0, +\infty)$$ (ya que tomamos la solución positiva de la raíz).
3) Podremos obtener cualquier número real excepto el cero. Por tanto, $$Im (f) = \mathbb{R} - \lbrace0\rbrace$$
Solución:
1) $$f(x)=x^2-2$$
$$Im (f) = [-2, +\infty)$$
2) $$f(x)=\sqrt{x+4}$$
$$Im (f) = [0, +\infty)$$
3) $$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$$
$$Im (f) = \mathbb{R} - \lbrace0\rbrace$$