Inecuaciones lineales de dos variables

Ejemplo

Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo $3000$ toneladas en total de merluza y rape.

Primero se han de identificar las variables. Llamaremos $x$ a la cantidad de merluza pescada (en toneladas) e $y$ a la cantidad de rape pescado (también en toneladas). Así pues esta restricción vendrá dada por la inecuación:

$$x+y⩽3000$$

La recta asociada a esta inecuación es: $y=-x+3000$

Para saber cual de las mitades del plano es la zona de validez se ha de probar un punto. Al hacer la prueba con el punto $(x=0,y=0)$:

$$0+0⩽3000$$

se cumple la inecuación en $(0,0)$, por lo tanto la región de validez es la que queda por debajo de la recta:

Ejemplo

En una fábrica de pantalones último modelo, que llevan cremalleras y agujeros distribuidos por su material, se controla que todos los pantalones tengan como mínimo tres agujeros.

Como antes, primero se identifican las variables del problema. En este caso serán el número de cremalleras $x$ y el número de agujeros $y$. En este caso, la restricción será:

$$y⩾3$$

Vemos en esta inecuación dos características distintas a las de las inecuaciones vistas antes. Lo primero que vemos es que en la restricción solo aparece una de las variables, y lo segundo es que esta vez tenemos un signo de mayor o igual ($⩾$), en lugar del símbolo de menor o igual ($⩽$). Aún y así esta inecuación tiene las mismas propiedades que las vistas antes. Se puede ver que la recta asociada a esta inecuación es una constante: $y=3$

Para saber cual de las 2 es la región de validez, probamos la inecuación con el punto $(x=0,y=0)$: $$0⪈3$$

$(0,0)$ no cumple la inecuación, por lo tanto la región de validez es el semiplano superior.

Esto era obvio sólo viendo la inecuación: $y⩾3$.

Ejemplo

Un repartidor puede repartir tantos paquetes como pueda, mientras que no se exceda de $200$ km al día.

De nuevo primero identificamos las variables. Llamaremos $x$ al número de kilómetros que hace e $y$ al número de paquetes que reparte. En este caso la restricción será la siguiente inecuación:

$$x⩽200$$

En este caso también depende solo de una de las variables. No podemos despejar la $y$, porque no aparece, pero ya sabemos que esta restricción se representará por una recta vertical (paralela al eje $y$) que separe los valores de $x$ superiores e inferiores a $200$, y nos quedaremos con la zona de $x$ menor o igual a $200$:

Ejemplo

Un pastelero tiene $150$ kg de harina para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita $3$ kg de harina y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina.

Se identifican primero las variables. En este caso serán el número de pasteles del tipo P ($x$) y el número de pasteles del tipo Q ($y$). Para hacer un pastel del tipo P se necesitan ${\displaystyle \frac{3}{12}}\text{kg}={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{kg}$ de harina (los $3$ kg que se necesitan para hacer $12$ pasteles, dividido por esos $12$ pasteles). Para uno del tipo Q se necesitan ${\displaystyle \frac{6}{12}}\text{kg}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{kg}$ de harina. Así pues, la restricción será que la harina que se use no puede superar los $150$ kg de que dispone el pastelero:

$${\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot y⩽150$$

La recta asociada a esta inecuación es: $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x+300$

Ahora se comprueba si el punto $(x=0,y=0)$ cumple la inecuación o no, para averiguar cuál de los dos semiplanos es la región de validez:

$${\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 0+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 0⩽150$$

Se cumple la inecuación en el punto $(0,0)$, por lo tanto la región de validez es la que queda por debajo de la recta: