Calcular la integral definida $$\displaystyle \int_{1}^e \frac{(\ln(x))^3}{x} \ dx$$ , en el intervalo $$[1, e]$$.
Ver desarrollo y solución
Desarrollo:
Procedemos de la siguiente manera:
- Encontrar la función primitiva del integrando.
$$\displaystyle \int (\ln(x))^3\cdot\dfrac{1}{x} \ dx= \dfrac{(\ln(x))^4}{4}$$
- Evaluarla en los extremos del intervalo de integración.
$$\Big[\dfrac{(\ln(x))^4}{4}\Big]^e_1=\dfrac{(\ln(e))^4}{4}-\dfrac{(\ln(1))^4}{4}=\dfrac{1}{4}-0=\dfrac{1}{4}$$
Solución:
$$\displaystyle \int_{1}^e \frac{(\ln(x))^3}{x} \ dx=\dfrac{1}{4}$$