Integral definida y regla de Barrow

Qué es una integral definida? Partiremos de una función $f (x)$ , cuyos valores (acotados) conocemos en un intervalo cerrado $[a, b]$ .

Ahora, si dividimos este intervalo en $n$ intervalos más pequeños, y en cada subintervalo dibujamos un rectángulo de altura igual al valor de la función en el punto medio del subintervalo, obtenemos lo que se puede ver en el gráfico siguiente:

imagen

Tomando más subintervalos (tomando $n$ mayor), éstos serán más estrechos. Entonces, definimos la integral definida de $f (x)$ entre $a$ y $b$ como la suma de las áreas de éstos rectángulos, cuando el número de subintervalos tiende a infinito (es decir, la anchura de los rectángulos tiende a cero). Y escribiremos

$\int_{x}^{b} f (x) d x$

La integral indefinida verifica las siguientes propiedades:

Linealidad del integrando:dadas dos funciones $f (x)$ y $g (x)$ definidas en el intervalo $[a, b]$ , y $K$ una constante cualquiera, entonces $\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f (x) \pm g (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x \\ \int_{a}^{b} K \cdot f (x) d x = K \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x \end{array}$
Propiedad aditiva del intervalo: Si $f (x)$ está definida en $[a, b]$ y $c$ pertenece al intervalo $[a, b]$ , entonces: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ Esta propiedad nos será muy útil para calcular integrales de funciones continuas a trozos, como veremos en algún ejemplo más tarde. De esta propiedad también se deduce que $\int_{a}^{b} f (x) d x = 0$

Una vez sabemos qué es una integral indefinida, veamos cómo calcularlas:

Primer teorema fundamental del cálculo y regla de Barrow

Sea $f (x)$ una función, y $F (x)$ su primitiva (o antiderivada, o integral indefinida). Entonces $F (x) = \int_{a}^{x} f (x) d x + C$ . Como $F (a) = \int_{a}^{a} f (x) d x + C = 0 + C$ , tenemos que $C = F (a)$ and $F (x) - F (a) = \int_{a}^{x} f (x) d x$ , en particular: $F (x) = \int_{a}^{b} f (x) d x + = F (b) - F (a)$ .

Es decir, que calcular la integral definida de $f (x)$ en el intervalo $[a, b]$ es tan fácil como encontrar una primitiva de $f (x)$ , calcular su valor en los extremos del intervalo, y restarlos.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo

$\int_{0}^{1} x^{2} d x = [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ donde $\frac{x^{3}}{3}$ es la primitiva de $x^{2}$ y $[\frac{x^{3}}{3}]$ significa evaluar $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ y restar los valores.

Ejemplo

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x = \frac{1}{3} [e^{3 x}]_{0}^{2} = \frac{1}{3} (e^{3 \cdot 2} - e^{3 \cdot 0}) = \frac{1}{3} (e^{6} - e^{0}) = \frac{1}{3} (e^{6} - 1)$

Ejemplo

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} d x = - [\ln (\cos x)]_{0}^{\frac{π}{4}} = - \ln (\cos \frac{π}{4}) + \ln (\cos 0) =$ $= - \ln \frac{\sqrt{2}}{2} + \ln 1 = \frac{1}{2} \ln 2$