Integral definida y regla de Barrow

Qué es una integral definida? Partiremos de una función $$f (x)$$, cuyos valores (acotados) conocemos en un intervalo cerrado $$[a, b]$$.

Ahora, si dividimos este intervalo en $$n$$ intervalos más pequeños, y en cada subintervalo dibujamos un rectángulo de altura igual al valor de la función en el punto medio del subintervalo, obtenemos lo que se puede ver en el gráfico siguiente:

Tomando más subintervalos (tomando $$n$$ mayor), éstos serán más estrechos. Entonces, definimos la integral definida de $$f(x)$$ entre $$a$$ y $$b$$ como la suma de las áreas de éstos rectángulos, cuando el número de subintervalos tiende a infinito (es decir, la anchura de los rectángulos tiende a cero). Y escribiremos

$$$\displaystyle \int_{x}^b f(x) \ dx$$$

La integral indefinida verifica las siguientes propiedades:

• Linealidad del integrando:dadas dos funciones $$f (x)$$ y $$g (x)$$ definidas en el intervalo $$[a, b]$$, y $$K$$ una constante cualquiera, entonces $$$\displaystyle \begin{array} {l}\int_{a}^b f(x) \pm g(x) \ dx= \int_{a}^b f(x) \ dx \pm \int_{a}^b g(x) \ dx \\ \int_{a}^b K \cdot f(x) \ dx= K \cdot \int_{a}^b f(x) \ dx \end{array}$$$

• Propiedad aditiva del intervalo: Si $$f(x)$$ está definida en $$[a, b]$$ y $$c$$ pertenece al intervalo $$[a, b]$$, entonces: $$$\displaystyle \int _{a}^b f(x) \ dx = \int _{a}^c f(x) \ dx + \int _{c}^b f(x) \ dx$$$ Esta propiedad nos será muy útil para calcular integrales de funciones continuas a trozos, como veremos en algún ejemplo más tarde. De esta propiedad también se deduce que$$$ \displaystyle \int _{a}^b f(x) \ dx =0$$$

Una vez sabemos qué es una integral indefinida, veamos cómo calcularlas:

Primer teorema fundamental del cálculo y regla de Barrow

Sea $$f(x)$$ una función, y $$F (x)$$ su primitiva (o antiderivada, o integral indefinida). Entonces $$F(x)=\int_{a}^x f(x) \ dx +C$$. Como $$F(a)=\int_{a}^a f(x) \ dx +C=0+C$$, tenemos que $$C=F(a)$$ and $$F(x)-F(a)=\int_{a}^x f(x) \ dx$$, en particular: $$$ F(x)=\int_{a}^b f(x) \ dx +=F(b)-F(a)$$$.

Es decir, que calcular la integral definida de $$f(x)$$ en el intervalo $$[a, b]$$ es tan fácil como encontrar una primitiva de $$f(x)$$, calcular su valor en los extremos del intervalo, y restarlos.

Veamos algunos ejemplos: