Integrales impropias

Una integral impropia es una integral que tiene una asíntota vertical en el intervalo de integración, o con el intervalo de integración no acotado.

En este tipo de integrales, calcularemos la integral en un intervalo un poco más reducido con un parámetro, para luego hacer el límite del resultado.

Una integral impropia puede no converger, en el sentido de que su resultado sea infinito. Hay 3 tipos de integrales impropias.

Integrales impropias de primera especie

Son las integrales del tipo $\int_{- \infty}^{b} f (x) d x$ o $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ . Estas integrales se resolverán de la siguiente forma: $\begin{array}{l} \int_{- \infty}^{b} f (x) d x = lim_{c \to + \infty} \int_{c}^{b} f (x) d x \\ \int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = lim x \to \infty \int_{a}^{c} f (x) d x \end{array}$

Ejemplo

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} d x = lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{- x} d x = lim_{b \to \infty} [- e^{- x}]_{0}^{b} = lim_{b \to \infty} (1 - e^{- b}) = 1$

Integrales impropias de segunda especie

Son integrales $\int_{a}^{b} f (x) d x$ donde $f (x)$ tiene una discontinuidad asintótica en el intervalo de integración. Si esta discontinuidad asintótica se produce en $c \in [a, b]$ , entonces $\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{d \to c^{-}} \int_{a}^{d} f (x) d x + lim_{e \to c^{+}} \int_{e}^{b} f (x) d x$

Integrales impropias de tercera especie

Son integrales mezcla del primer tipo y del segundo.